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\frac{a_ib_i}{(\sum_{j=1}^{n}a_j^p)^{\frac1p}(\sum_{j=1}^{n}b_j^q)^{\frac1q}} \leq \frac1p\frac{a_i^p}{\sum_{j=1}^{n}a_j^p}+\frac1q\frac{b_i^q}{\sum_{j=1}^{n}b_j^q}
(
∑
j
=
1
n
a
j
p
)
p
1
(
∑
j
=
1
n
b
j
q
)
q
1
a
i
b
i
≤
p
1
∑
j
=
1
n
a
j
p
a
i
p
+
q
1
∑
j
=
1
n
b
j
q
b
i
q
将上式两边对
\frac{\sum_{i=1}^{n}a_ib_i}{(\sum_{j=1}^{n}a_j^p)^{\frac1p}(\sum_{j=1}^{n}b_j^q)^{\frac1q}} \leq \frac1p+\frac1q = 1,
(
∑
j
=
1
n
a
j
p
)
p
1
(
∑
j
=
1
n
b
j
q
)
q
1
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
≤
p
1
+
q
1
=
1
,
\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}a_ib_i \leq (\sum_{j=1}^{n}a_j^p)^{\frac1p}(\sum_{j=1}^{n}b_j^q)^{\frac1q}
⇒
i
=
1
∑
n
a
i
b
i
≤
(
j
=
1
∑
n
a
j
p
)
p
1
(
j
=
1
∑
n
b
j
q
)
q
1
上式要求 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f’(ξ)=0. 几何上，罗尔定理的 条件 表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明： 弧上至少有一点 ...
上式要求 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f’(ξ)=0. 几何上，罗尔定理的 条件 表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明： 弧上至少有一点 ...
偏微分方程中常用的十个
不等式
绝对值
不等式
(Absolute value inequality)
在
不等式
应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。
一般形式:
∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
杨
不等式
(Young inequality)
杨氏
不等式
又称Young
不等式
，Young
不等式
是加权算术－几何平均值
不等式
的一种特
著名柯西-施瓦茨
不等式
是
证明
二
范数
三角
不等式
的重要工具。Ho
lder
不等式
是柯西
不等式
的推广，它是
证明
ppp
范数
三角
不等式
的重要工具。
定义 Rn\mathbb{R}^nRn空间上的ppp
范数
∣⋅∣p|\cdot|_p∣⋅∣p定义为
∣x∣p=(∑i=1n∣xi∣p)1/p。|x|_p=(\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{1/p}。∣x∣p=(i=1∑n∣xi∣p)1/p。
Ho
lder
不等式
设ai,bi>0a_i,b_i>0ai,bi>0
p,q>1,1p+1q=1p,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1p,q>1,p1+q1=1
有∑i=1naibi≤(∑i=1naip)1p(∑i=1nbiq)1q\sum_{i=1}^{n} a_i b_i \le (\sum_{i=1}^{n}a_i^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum_{i=1}^{n}b_i^{q})^{\frac{1}{q}}∑i=1
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