著名柯西-施瓦茨
不等式
是
证明
二范数三角
不等式
的重要工具。H
olde
r
不等式
是柯西
不等式
的推广，它是
证明
ppp范数三角
不等式
的重要工具。
定义 Rn\mathbb{R}^nRn空间上的ppp范数∣⋅∣p|\cdot|_p∣⋅∣p定义为
∣x∣p=(∑i=1n∣xi∣p)1/p。|x|_p=(\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{1/p}。∣x∣p=(i=1∑n∣xi∣p)1/p。
H
olde
r
不等式
设ai,bi>0a_i,b_i>0ai,bi>0
p,q>1,1p+1q=1p,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1p,q>1,p1+q1=1
有∑i=1naibi≤(∑i=1naip)1p(∑i=1nbiq)1q\sum_{i=1}^{n} a_i b_i \le (\sum_{i=1}^{n}a_i^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum_{i=1}^{n}b_i^{q})^{\frac{1}{q}}∑i=1
H
olde
r
不等式
是范数理论
中
重要的
不等式
，表述如下：
∥xy∥1≤∥x∥p∥y∥q, where p>0,q>0, and 1p+1q=1(1)
\Vert xy\Vert_1\le \Vert x \Vert_p\Vert y \Vert_q,\quad \text{ where } p\gt 0, q\gt 0...
