\begin{aligned}\Vert a\Vert^2&=(a,a)\\&=(kb+u,kb+u)\\&=(kb,kb)+2k(b,u)+(u,u)\\&=(kb,kb)+(u,u)\\&=(v,v)+(u,u)\\&=\Vert v\Vert^2+\Vert u\Vert^2 \\& \geq \Vert v\Vert^2 \\ \therefore \Vert a\Vert^2 & \geq \Vert v\Vert^2,\Vert a\Vert \geq \Vert v\Vert\\\therefore \Vert a\Vert &\geq \frac{\vert(a,b)\vert}{\Vert b\Vert} \end{aligned} ∥ a ∥ 2 ∴ ∥ a ∥ 2 ∴ ∥ a ∥ ​ = ( a , a ) = ( k b + u , k b + u ) = ( k b , k b ) + 2 k ( b , u ) + ( u , u ) = ( k b , k b ) + ( u , u ) = ( v , v ) + ( u , u ) = ∥ v ∥ 2 + ∥ u ∥ 2 ≥ ∥ v ∥ 2 ≥ ∥ v ∥ 2 , ∥ a ∥ ≥ ∥ v ∥ ≥ ∥ b ∥ ∣ ( a , b ) ∣ ​ ​ 不等式成立.

(a,b)^2=(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^2\leq(\sum_{i=1}^{n}a_i^2)(\sum_{i=1}^{n}b_i^2)=(a,a)(b,b) ( a , b ) 2 = ( i = 1 ∑ n ​ a i ​ b i ​ ) 2 ≤ ( i = 1 ∑ n ​ a i 2 ​ ) ( i = 1 ∑ n ​ b i 2 ​ ) = ( a , a ) ( b , b ) 当且仅当 (\sum_{i=1}^{\infin} \vert a_i\vert^2)^{\frac{1}{2}}<\infin,\,\,(\sum_{i=1}^{\infin} \vert b_i\vert^2)^{\frac{1}{2}}<\infin ( i = 1 ∑ ∞ ​ ∣ a i ​ ∣ 2 ) 2 1 ​ < ∞ , ( i = 1 ∑ ∞ ​ ∣ b i ​ ∣ 2 ) 2 1 ​ < ∞ 则 (a,b)^2=(\sum_{i=1}^{\infin}a_ib_i)^2\leq(\sum_{i=1}^{\infin}a_i^2)(\sum_{i=1}^{\infin}b_i^2)=(a,a)(b,b) ( a , b ) 2 = ( i = 1 ∑ ∞ ​ a i ​ b i ​ ) 2 ≤ ( i = 1 ∑ ∞ ​ a i 2 ​ ) ( i = 1 ∑ ∞ ​ b i 2 ​ ) = ( a , a ) ( b , b ) 当且仅当 (f,g)^2=(\int_{[a,b]}f(x)g(x)dx)^2\leq(\int_{[a,b]}f^2(x)dx)(\int_{[a,b]}g^2(x)dx)=(f,f)(g,g) ( f , g ) 2 = ( ∫ [ a , b ] ​ f ( x ) g ( x ) d x ) 2 ≤ ( ∫ [ a , b ] ​ f 2 ( x ) d x ) ( ∫ [ a , b ] ​ g 2 ( x ) d x ) = ( f , f ) ( g , g ) 当且仅当 柯西 - 施瓦茨 不等式 其实是有四种不同的形式的，如果只知道其中一种，看论文的时候肯定会陷入迷惑，下面我们来看看 柯西 - 施瓦茨 不等式 的四种形式： 一，在实数域中 设 ai,bi∈R (i=1,2,..,n)\ a_i,b_i\in R\ (i=1,2,..,n) ai​,bi​∈R (i=1,2,..,n)，则 ∑i=1nai2∑i=1nbi2≥(∑i=1naibi)2\sum_{i=1}^na_i^2\sum_{i=1}^nb_i^2\ge(\sum_{i=1}^na_ib 如果： 函数 y=ax^2+2bx+c 对任意x &gt;=0 时 y&gt;=0; 函数图象在全部x轴上方，故二次方程判别式 b^2-4ac&lt;=0;(即方程无实数解) 即(2b)^2&lt;=4ac  =&gt;  b^2&lt;ac; 注意:上面g(x0)A(x0-B/1)^2 中X0-B/A 应该表示成(X0+B/A);参考判别式: http://baike.... 数学 上， 柯西 - 施瓦茨 不等式 ，又称 施瓦茨 不等式 或 柯西 -布尼亚科夫斯基- 施瓦茨 不等式 ，是一条很多场合都用得上的 不等式 ；例如线性代数的矢量， 数学 分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。它被认为是最重要的 数学 不等式 之一。它有一些推广，如赫尔德 不等式 。 Ca uchy – Sch war z 不等式 ∣∣⟨u,v⟩∣∣≥∥u∥∥v∥ \left|\langle u,v\rangle\right|\geq \|u\|\|v\| 证明v=0v=0 或 ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0 时，等式成立，然后排除这两种情况，记 uu 到 vv 的投影向量为 uvu_v，则： uv=⟨u,v⟩v⟨v,v⟩ u_v = \langle u,v\ran 1.背景介绍 在 数学 和科学领域中，偏微分方程(Partial Differential Equations，PDEs)是一种描述多变量函数的方程，它们在许多实际问题中发挥着重要作用，例如物理现象的描述、科学实验的设计、工程设计等。解决偏微分方程的问题是一项非常挑战性的任务，因为它们通常没有恒定解，而是具有变化的解。为了解决这些问题， 数学 家们和计算机科学家们开发了许多方法和算法，其中之一是基于 柯西 ... 结论：任意两个向量的内积（点乘）的模平方，必定小于或等于这两个向量各自的模的乘积。 https://www.jianshu.com/p/77f9607d88df https://zhuanlan.zhihu.com/p/45928857 1.背景介绍 柯西 - 施瓦茨 不等式 (Khinchin's inequality)是 数学 的一个重要理论基础，它在概率论、信息论、信号处理等多个领域中发挥着重要作用。这篇文章将从背景、核心概念、算法原理、代码实例等方面进行全面讲解，帮助读者更好地理解这一重要 数学 原理。 1.1 背景介绍 柯西 - 施瓦茨 不等式 的名字来源于两位 数学 家：俄罗斯 数学 家阿尔茨尼克· 柯西 (Andrey Nikolaevich K...