柯西-施瓦茨不等式- 抖音百科

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柯西-施瓦茨不等式

求解不等式的重要工具

条目

历史版本

柯西-施瓦茨不等式（英文： Cauchy- Schwartz inequality ）也称柯西不等式，即如果

为任意实数，则有

，当且仅当

(

为常数 )时等号成立。 ^{[

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柯西-施瓦茨不等式最早是在1821年由法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（法语：Augustin-Louis Cauchy ）提出。俄国数学家布尼亚科夫斯基（俄语：Виктор Яковлевич Буняковский）和德国数学家赫尔曼·施瓦茨（德语：Hermann Schwarz）分别在1859年和1884年独立地提出柯西- 施瓦茨不等式的积分形式。柯西-施瓦茨不等式也得到了更多的推广和不同学科领域的发展。 ^{[

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柯西-施瓦茨不等式有许多形式，积分形式的不等式也叫柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式。还有向量、内积、概率形式的柯西-施瓦茨不等式。一般形式的柯西-施瓦茨不等式可以推广成赫尔德不等式（英文：

）、闵可夫斯基不等式（英文：Minkowski's inequality）、卡勒博不等式（英文：Callebaut's Inequality ）等。 ^{[

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柯西-施瓦茨不等式在数学领域有广泛的应用，可以利用它来证明恒等式、解方程、证明不等式、求极值等，概率论中可以推出相关系数的性质。柯西-施瓦茨不等式也可以应用到数据分析领域，无论是在最佳样本量的估计或是在时间序列的分析上都有应用。 ^{[

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定义