微分中值定理—柯西中值定理_柯西中值定理几何图解_马同学图解 ...

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柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。如果，我们把研究对象扩展到两个函数，然后，将结论 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ ,再加上分母不为零的条件。那么拉格朗日中值定理，就成了我们的柯西中值定理如果函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 满足

那么 $\exists\xi\in (a,b)$ ，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi)=f'(\xi)$ 。如果此时还有 $g'(\xi)\ne 0$ ，那么该式可改写为：

定义看完了，下面来看看它的几何意义

2 几何意义

要直观理解柯西中值定理，需要将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 组成参数方程组。为了符合习惯，这里的自变量用 $t$ 来表示，即假设有参数方程：

下面以 $g(t)$ 为横坐标, $f(t)$ 为纵坐标，建立坐标系。起点为 $t=a$ 时的位置 $[g(a),f(a)]$ ,终点为 $t=b$ 时的位置 $[g(b),f(b)]$ 。

连接起点与终点，做出一条割线,那么 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ 表示的就是割线的斜率。而 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ ,表示的是， $\xi$ 这个位置，切线的斜率。

这样柯西中值定理的结论就是,曲线上至少有一点，它的切线的斜率与割线斜率是相等的。从几何上来讲，也就是 $\xi$ 这个点的切线，与割线是平行的。

前面说过，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，这在几何上就可以体现。比如下面这条蓝色曲线，因为它能用函数表示，且闭曲间连续，开区间可导。所以符合拉格朗日中值定理。

下面假设 $g(x)=x$ ,那么实际上，这条曲线也可以用参数方程来表示,因此，它也是符合柯西中值定理的。

还是这条曲线,固定起点不变,对终点进行拉伸,此时，这条曲线无法再用函数表示，也就不符合拉格朗日中值定理。

现在，我们将横坐标用 $g(x)$ 表示,纵坐标用 $f(x)$ 表示,那么，它符合的是柯西中值定理。

把两张图放在一起，可以很明显地看出，拉格朗日中值定理仅为 $g(x)=x$ 时的特殊情况。

4.1 证明方法一

首先来看一个错误的证明方法:

由于 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上都满足拉格朗日中值定理的条件，故 $\exists\xi\in(a,b)$ ，使得:

如果有 $g(a)\ne g(b)$ 以及 $g'(\xi)\ne 0$ ，那么上述两式相除可得：

上述方法是错误的。因为对于两个不同的函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ , 拉格朗日中值定理中的 $\xi$ 未必相同，比如下面两个函数

$g(x)=x^2$ ，在 $[0,1]$ 上使得拉格朗日中值定理成立的 $\xi=\frac{1}{2}$
$f(x)=x^3$ ，在 $[0,1]$ 上使得拉格朗日中值定理成立的 $\xi=\frac{\sqrt{3}}{3}$

假如将函数 $g$ ,与函数 $f$ 联合在一起，建立参数方程

那么，以 $g$ 为横坐标， $f$ 为纵坐标建立坐标系,做出自变量在0到1范围内的参数方程图像。可以看到,当自变量取值为 $\frac{2}{3}$ 时，满足柯西中值定理。

从这个例子我们就可以看出，这种方法是不正确的。

4.2 证明方法二

正确的证明方法如下:因为 $g(a)\ne g(b)$ ，所以构造辅助函数：

容易知道， $F(x)$ 满足：

在闭区间 $[a,b]$ 上连续
在开区间 $(a,b)$ 上可导
$F(a)=F(b)=\frac{g(b)f(a)-g(a)f(b)}{g(b)-g(a)}$

所以根据罗尔中值定理， $\exists\xi\in(a,b)$ 使得 $F'(\xi)=0$ ，即：

由此可得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi)=f'(\xi)$ ，如果 $g'(\xi)\ne 0$ ，那么该式可改写为 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

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前面说过，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，这在几何上就可以体现。比如下面这条蓝色曲线，因为它能用函数表示，且闭曲间连续，开区间可导。前面我们已经学习了罗尔中值定理,和拉格朗日中值定理，它们的相同点是，研究的曲线都能用函数来表示。还是这条曲线,固定起点不变,对终点进行拉伸,此时，这条曲线无法再用函数表示，也就不符合拉格朗日中值定理。这样柯西中值定理的结论就是,曲线上至少有一点，它的切线的斜率与割线斜率是相等的。,那么实际上，这条曲线也可以用参数方程来表示,因此，它也是符合柯西中值定理的。

高数篇：05柯西定理和泰勒公式高数篇：05柯西定理和泰勒公式定理8：柯西定理 柯西中值定理 的应用1.0定理9：泰勒公式泰勒公式的应用1.0转载需注明出处高数篇：05柯西定理和泰勒公式定理8：柯西定理下面提出柯西定理的定义：柯西定理证明误区：上图表示这种形式的拉氏证柯西是错误的，因为上图中的两个 ξ 并不相同，而柯西定理中的两个ξ是相同的。 柯西中值定理 的应用1.0 直接上栗子：定理9：泰勒公式重点了解泰勒公式两种形式的区别：区间和局部极限，前者X和X0之前是可以存在一段距离的，而后

### 回答1：积分中值定理指出，在一个定义域内的某一函数的积分，可以通过在这个定义域中某一点上取函数值与定义域长度的乘积来近似计算，而 微分中值定理 则认为，在某一点上，函数的导数可以近似由函数在该点左右两点上取值的差值除以它们之间的距离所得。 ### 回答2：积分中值定理和 微分中值定理 是 微积分 中两个重要的定理。积分中值定理是指如果函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续且可积，那么存在一个$\xi$在区间$(a, b)$内，使得$\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a)$。简单说，积分中值定理表明在一个连续函数的定积分中，一定存在某个点，使得该点的函数值与其定义域上的平均值相等。 微分中值定理 是指如果函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上可导且连续，那么存在一个$\xi$在开区间$(a, b)$内，使得$f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。简单说， 微分中值定理 表明在一个可导函数的导数中，一定存在某个点满足导数等于该函数在闭区间上的斜率。两个定理的区别主要在于对象和定理的表达方式上。积分中值定理是关于函数在闭区间上定积分的取值与函数在内部某个点上的函数值之间的关系。而 微分中值定理 则是关于函数在闭区间上的导函数与函数在内部某个点上的斜率之间的关系。 ### 回答3：积分中值定理和 微分中值定理 都属于 微积分 中的重要定理，但它们的应用对象不同，所表示的意义也有所差异。积分中值定理是用来描述定积分的性质的定理，它指出如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，并且满足一定的条件，那么在[a,b]上必然存在一点c，使得函数在c处的取值等于整个区间上函数的平均值。具体来说，对于函数f(x)在闭区间[a,b]上，存在一点c，使得∫[a,b]f(x)dx = (b-a)f(c)。 微分中值定理 是用来描述导数的性质的定理，它指出如果一个函数在闭区间[a,b]上是可导的，并且满足一定的条件，那么在(a,b)内必然存在一点c，使得函数在c处的导数等于函数在该区间上两个端点的函数值的差与对应的导数的乘积的比值。具体来说，对于函数f(x)在闭区间[a,b]上可导，存在一点c，使得f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)。综上所述，积分中值定理和 微分中值定理 的不同主要体现在它们的应用对象和所代表的意义上。积分中值定理描述了整个区间上函数的平均值与函数在某一点处的关系，而 微分中值定理 描述了函数在某一区间上的导数与函数在该区间内两个端点处函数值的关系。