Holder不等式（赫尔德不等式）

一、引理

定理描述 ：

若 a,b\ge0 ， p,q>0 且 \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 ，则 ab\le\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q}b^q ；

定理证明 ：

观察函数 f(x)=\ln x ，易得 f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0 ，因此 f(x) 在 (0,+\infty) 上concave，根据concave的定义：

\ln(\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q}b^q)\ge\frac{1}{p}\ln a^p+\frac{1}{q}\ln a^q=\ln ab ，

因此 ab\le\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q}b^q 成立。

二、Holder不等式（赫尔德不等式）

定理描述 ：

条件 ：若函数 f(x),g(x) 在 [a,b] 上连续，且 p,q>0,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 ，

结论 ： \int_{a}^{b}|f(x)g(x)|dx\le(\int_{a}^{b}|f(x)|^pdx)^\frac{1}{p}(\int_{a}^{b}|g(x)|^qdx)^\frac{1}{q} ；

注 ：当 p=q=2 ，以上不等式变为：对于平方可积函数的柯西-施瓦茨不等式；

（私货：我曾在514甚至114个不同的地方见过式子完全不一样但是核心内容一样的柯西-施瓦茨不等式，这个不等式以后我可能也会研究一下并且写篇文章（咕咕咕预定））

定理证明 ：

若 f(x)\equiv0 或 g(x)\equiv0 ，显然Holder不等式成立；

若 f(x),g(x) 都不恒为 0，则 \int_{a}^{b}|f(x)|^pdx,\int_{a}^{b}|g(x)|^qdx 均不为 0 （可由两函数的连续性、函数极限的保号性和定积分的保序性证明）

令 a=\frac{|f(x)|}{(\int_{a}^{b}|f(x)|^pdx)^\frac{1}{p}},b=\frac{|g(x)|}{(\int_{a}^{b}|g(x)|^qdx)^\frac{1}{q}} ；

对 a、b 应用上述 一、 中的引理，我们得到：

\frac{|f(x)||g(x)|}{(\int_{a}^{b}|f(x)|^pdx)^\frac{1}{p}(\int_{a}^{b}|g(x)|^qdx)^\frac{1}{q}}\le\frac{|f(x)|^p}{p\int_{a}^{b}|f(x)|^pdx}+\frac{|g(x)|^q}{q\int_{a}^{b}|g(x)|^qdx} ，

（注意：上面的式子看上去很复杂，但是分母的 定积分可以看作常数 ）

对这个不等式两边同时在 [a,b] 取定积分，分母可视作常数，则有：

\frac{\int_{a}^{b}|f(x)g(x)|dx}{(\int_{a}^{b}|f(x)|^pdx)^\frac{1}{p}(\int_{a}^{b}|g(x)|^qdx)^\frac{1}{q}}\le\frac{\int_{a}^{b}|f(x)|^pdx}{p\int_{a}^{b}|f(x)|^pdx}+\frac{\int_{a}^{b}|g(x)|^qdx}{q\int_{a}^{b}|g(x)|^qdx} ，

显然不等式右侧是 1，则

{\int_{a}^{b}|f(x)g(x)|dx}\le{(\int_{a}^{b}|f(x)|^pdx)^\frac{1}{p}(\int_{a}^{b}|g(x)|^qdx)^\frac{1}{q}} ，得证。

注：引理来自视频p52，Holder不等式来自视频p80。