很好的一本书，简单谈一下这门课。

本科的时候蹭过研究生的基本群、覆盖空间这些课，研究生就随便学了下，感觉同调论好难，总算明白知乎er的“开口上同调，闭口纤维丛”了（笑）。

代数拓扑学的宗旨是用代数方法解决拓扑问题，内容主要就是奇异同调的理论框架和胞腔同调的计算和拓扑应用，总的思路是代数的框架、拓扑的应用。这课重心当然也可以压在代数上，那课程就要改名叫同调代数了。

感觉理论挺有用，比如同伦就可以和复分析结合。（参见余家荣的书）

下列提纲便于期末考试:

Ⅰ 基本群、覆叠空间

同伦、基本群、S∧n的基本群、同伦不变性、基本群的计算和应用、jordan曲线定理、van kampen’s 定理、映射提升定理、覆叠空间及性质、万有覆叠空间、覆叠空间存在定理。

Ⅱ奇异同调

范畴、协变函子、反变函子、链复形及同调群、链同伦、奇异单形、奇异链复形及奇异同调群、简约奇异同调群、mayer-vietoris同调序列、S∧n的同调群、球面映射的度、jordan-brouwer分离性、映射的简约同调序列、射影空间的同调群。

Ⅲ相对同调和上同调

相对同调群、切除定理、局部同调群、流形的局部定向、胞腔和球面的定向、有向球面的映射度、带系数的奇异链复形及奇异同调群、eilenberg-steenrod公理、简约同调群公理、同态群Hom(A,B)、反变函子Hom(-,C)、上链复形及上同调群、 奇异上同调群、上同调的eilenberg-steenrod公理、上下同调群的克罗内科积、域系数的奇异链群及同调群、de rham定理。

Ⅳ胞腔同调

胞腔复形和胞腔映射、胞腔链复形及胞腔链映射、CW逼近、胞腔同调定理及推论、胞腔上同调、单纯复形、单纯映射、单纯链复形、单纯链映射、有序单纯复形、胞腔同调的计算、euler示性数、Morse不等式、自由链复形。万有系数定理。

Ⅴ乘积、流形

复形的乘积、胞腔上同调的上积和卡氏积、奇异上同调的乘法、borsuk-ulam定理、乘积空间的奇异同调、相对上同调的上积、正则胞腔复形、胞腔流形及定向、庞加莱对偶定理、交积、相交数、lefschetz不动点定理、带边流形及lefschetz定理、子流形和thom 同构定理。

表示allen hatcher的代数拓扑、姜伯驹的同调论都挺难读完。学习上万不可得“意”忘“形”，最好有图、有例子，注意几何背景，这样说前者更能体现这点。