e
(
p
)
=
t
p
V
(
p
)
,
t
∈
R
是乘性函数.这道题就做完了.
关系是一类特殊的二元映射,由
R
:
A
×
A
→
A
给出.其中
A
×
A
是笛卡儿(
Cartersian
Cartersian
)积.关于等价关系的定义,大家可以自行翻书,_(:3」∠)_很简单的定义了.
Proposition
循
环
律
Proposition 循环律
a
R
b
,
b
R
c
c
R
a
.
证明:关系
是等价的,当且仅当
R
是自反的和循环的.
自反律已经成立.对称律:
a
R
a
,
a
R
b
b
R
a
,于是对称律成立；
a
R
b
,
b
R
c
c
R
a
,根据对称律,所以
a
R
c
,于是传递律成立.所以
是等价关系.
反之由对称律和传递律很容易得出循环律.
Problem
为什么证明:”
根
据
对
称
律
a
R
b
,
根
据
传
递
律
a
R
b
,
b
R
a
,
所
以
关
系
R
满
足
自
反
律
a
R
a
根据对称律
根据传递律
满足自反律
”是错的？
因为:可能不存在
b
∈
A
a
R
b
可以思考一下上面关于循环律证明等价关系避免了这一谬误.
同构是一类特殊的映射(双射),不懂的同学可以去翻一翻群论.
Problem
Problem
Z
[
2
–
√
]
Z
[
3
–
√
]
不可能同构(这里的同构还有一种性质
f
(
a
+
b
)
=
f
(
a
)
+
f
(
b
)
).
证明:
设有同构
ϕ
且
ϕ
(
2
–
√
)
=
x
′
∈
Z
[
3
–
√
]
ϕ
(
2
–
√
⋅
2
–
√
)
=
x
′
2
=
2
ϕ
(
1
)
=
2.
环论
与域论
群是有一个代数运算的代数系统，但我们在
数学
中，如高等代数中讨论的很多对象比如：数、多项式、函数以及矩阵和线性变换等，都是有两个代数运算的代数系统，两个代数运算的代数系统不仅有非常重要的现实意义，而且相比于一个代数运算的系统会有一些有趣的性质。而在具有两个代数运算的系统中环和域便是很好的代表。
1.1 环和子环
具有两个运算的系统比较多，性质也各有不同，我们必须先从中抽取出“最小”的系统才能有通用性。各种数系、多项式、矩阵的加法和乘法是最具代表性的双运算系统，以它们为参考可以得到比较有用的
代数拓扑与同调论
Algebraic Topology ........................................................................................... Allen Hatcher
Title Page
Table of Contents
Preface
Standard Notations
同调论 .......................................................................................................................................... 姜伯驹
同调论讲义 ............................................................................................................................... 段海豹
Homological Algebra ................................................... HENRI CARTAN & S.EILENBERG
Title Page
Preface
Contents
List of Symbols
代数拓扑讲义 .......................................................................................... 根据Munkers 的书整理
代数拓扑的现代方法...................................................................................... HENRI CARTAN
Conceptual Mathematics - A First Introduction to Categories
............................................................................................ F.William Lawvere Stephen H.Schanuel
Basic Category Theory ............................................................................. Jaap van Oosten
范畴论 .............................................................................................................................................. 贺伟
谱序列 ...................................................................................................................................... 维基百科
Spectral sequence ...................................................................................................... Wikipedia
Floer homology ............................................................................................................ Wikipedia
Spectral Sequences in Algebraic Topology ................................ Allen Hatcher
定义：设集合\(R\)上有两种二元运算，一个叫加法，记为\(+\);一个叫乘法，记为\(*\)，且\((R,+)\)是个交换群；乘法\(*\)在\(R\)上是结合的；对任意\(a,b,c\in R\)，都有\(a*(b+c)=a*b+a*c,(b+c)*a=b*a+c*a\)，则说\((R,+,*)\)是个结合环，简单地，说它是个环。
例如：整数集，有理数集，复数集在相应的运算下分别是个环。
1.1 代数结构
既然
抽象代数
研究对象是代数结构(algebraic structure)，那什么是代数结构呢。看了多个不同角度描述代数结构，如百度百科代数：代数是研究数、数量、关系与结构的
数学
分支。还是觉得《[转]MIT牛人解说
数学
体系》中的描述最深入浅出，如下：
代数主要研究的是运算规则。一门代数， 其实都是从某种具体的运算体系中抽象出一些基本规则，建立一个公理体系，然后在这
基础
上进行研究。一个集合再加上一套运算规则，就构成一个代数结构[1](想想计算机的数据结构：数据+操作)。
群论的基本概念点较多，且各概念点之间关系纵横交错，学习起来颇有本科时初学线性代数时的感觉，觉得有必要整理一下，先梳理一下群的基本定义和例子。
首先作几点说明：
1、群(group)、环(ring)、域(field)是
抽象代数
(abstract algebra)中基本的代数结构(algebraic structures)
2、上述这些代数结构是
抽象代数
(abstract algebra)的研究对
之前看老师讲的叫Abelian monoid（阿贝尔幺半群），但是搜不到。
A monoid is a set closed under an associative binary operation and has an identity element such that.
Binary operation(二元运算): f(x, y) an op...
