数学各领域的巨著或者非常深入的教材是什么？

我GTM系列的书只看完过两本，GTM的书大多数都是比较老的教材，有些后来再版了，有些就没有。老的GTM的书有些是领域内顶尖的数学家写的教材，比如MacLane的范畴论。其实GTM至今还在更新中，新的GTM系列的书我觉得都缺少以前的那种韵味，比如Kemper写的交换代数就不如Atiyah&MacDonald还有Eisenbud写的老道。而有些旧的书，我觉得里面的语言确实有些过时了，毕竟有些书并不是不断再版的，可能就是出了一个版本之后就不更新了。

因此GTM系列的书我基本就翻过看过参考过几本，比如MacLane的范畴论，Eisenbud的交换代数、Bott&Loring的代数拓扑中的微分形式等几本而已。

Springer除了GTM系列其实还有其他还多系列的书，比如教材类的University text，这是面向高年级本科生或研究生的，我比较喜欢这个系列的写书风格，因为这个系列的作者大多数都是欧陆的数学教授，他们写的书跟英美的风格差异很大，语言更凝炼，拔高方面做的不错。

Springer还有一些跟本科生有关的系列，比如Undergraduate系列，那本linear algebra done right就属于此。另外还有Springer Studium Mathematik – Master，这个系列应该是德国的教材，有一本讲概型讲得很好的书，以及同一个作者给本科生上课时的教材Manifolds, Sheaves,and Cohomology。之前在一个算术几何学家的主页上看到他上微分几何的讲义，竟然内容与此书甚符，均是着重于ringed space跟premanifold。

Springer研究级别的系列也有很多，比如Grundlehren dermathematischen Wissenschaften: A Series of Comprehensive Studies in Mathematics其实也叫Ergebnisse der Mathematikund ihrer Grenzgebiete: A Series of Modem Surveys in Mathematics。这个系列一般是综述+教科书性质的，像Dold写的代数拓扑，Mumfor的GIT，算术几何里经常引用的BLM Neron Models，Manin的同调代数方法，还有《流形上的层》等书就全在这个系列里。

这里我要提一嘴，Sheaves on Manifolds确实是一本非常专业的好书，sheaf最开始就起源自代数拓扑，但后期因代数几何而出圈，这本书提到的constructible sheaf就是新的拓扑类的层论，是古典代数拓扑中local system (locally constant sheaf) 的推广，在stratified space上constructible sheaf就局部地像是一个local system。

还有一本类似主题的书sheaves in topology，这是上面说的university text系列的，序言里面作者就说了，local system在古典代数拓扑里面非常常用，毕竟是作为local coefficient来算上同调的，但是新的constructible sheaf却没有多少拓扑学家关心，因为它用到很多非常范畴化形式化的语言，比如导出范畴就是它的基础，这吓退了不少人。但这个学科应该确实是挺有意思的，local system有自己的表示理论，通过跟covering space的等价，来得到跟基本群的作用集合的等价，这个表示理论在复分析里面就可以得到Riemamm-Hilbert对应。而通过constructible sheaf或者说是perverse sheaf，以及D-module会有类似的对应的理论。

Springer里还有一个系列Modern Birkhauser Classics，我觉得它里面书的内容也是不错的，Jardine的那本simplicial homotopy theory应该算是这个领域最标准的参考文献了，其他的关于单纯同伦的文献基本是像May那种很老的使用组合手段的写法，而不是这种范畴论的写法。当然，差不多的关于单纯同伦的文献则是Lurie的Kerodon，他的higher topos不算。Kerodon并不比Jardine的更好，毕竟它避免了使用model cat的语言，它关于Kan complex的同伦理论那一块内容跟Jardine的是两种风格，喜欢哪种随人所好。

这个系列我熟悉的还有一本关于高阶K理论的，不过我不算太喜欢那本书，但是那本书里介绍了很多高阶K理论在当时的应用，注意这些应用是很现代的，这不比Rosenberg那本里的应用(那里应用很广泛但是深度不够)。当然了，自从Weibel出了本K理论的书后，他的那本基本成为标准的参考文献了，比较现代的那种。

除了Springer外，我还比较喜欢剑桥的advanced mathematics系列，这个系列最近又出了一些书。大家应该都知道的Weibel的同调代数就是这个系列的。不过除了这本同调代数外，这个系列最近几年多了一些跟高阶范畴论，范畴论与同伦论相关的书，还有一本稳定同伦论。这些都是比较年轻的数学家写的。Riehl的书基本也都是剑桥出版社出版的。

剑桥出版社除了这个系列外还有Cambridge tracts in mathematics，Kollar的几本比较经典的书就在这个系列里。还有London Mathematical Society Lecture notes series，这个系列历史悠久，既有教材也有会议的论文集，教材上比如An Introduction to GaloisCohomology and its Applications就写得不错，前言里面的那个将Galois cohomology看成obstruction的例子是非常经典的。论文集就更有的说了，比如Geometric Galois Actions 1/2两卷，里面有各种关于远阿贝尔几何的文章，包括Grothendieck求职信的英译sketch of program。也有关于moduli space的，在序号41里有Behrend写的关于algebraic stack偏几何的入门的介绍，也有我觉得比较有意思的导出微分几何。

最后还值得一提的还有普林斯顿出版社跟AMS。普林斯顿出版社的书我只知道Lurie的Higher topos跟Milnor的K理论，这本K理论只是关于低K的。Lurie的那本书肯定是非常重要的，这里我要吐槽一下大V的回答，给了Lurie的higher algebra的链接却什么都不说明，这是炫耀什么？Lurie的higher topos是继Joyal之后最全面的关于quasi-cat的比较基础的文献，里面证明quasi-cat跟其他无穷范畴模型的同伦等价性。里面强调presentable cat是为higher topos做铺垫，后面关于应用的章节里面讲到了上同调理论的分类，这个不是Lurie首创，事实上Jardine的simplicial presheaf已经把这个问题解决了。因此这本书的重要性大部分应该在于quasi-cat的全面发展上。

之后的higher algebra里面我觉得最重要的应该是stable infinite cat，这个已经在逐渐替代model cat了。之后的Spectral algebraic geometry则是一个利用ring spactra发展的derived algebraic geometry的模型。

AMS出版社的好书可不少，它也有好多序列，比较出名的是研究生教材系列的，这里有好多书，但我熟悉的基本只有Weibel的K理论，比较教材系列的书我大多是用notes或Springer系列的。AMS的Mathematics Subject Classification里有好几本关于模型范畴同伦论的书，比如Hovey的，比如Dwyer他们新的对模型范畴、导出函子、同伦极限等公理化的尝试等等。

另外AMS还有两个类似的系列，一个是contemporary mathematics，一般是会议的论文集，比如Interactions between Homotopy Theory and Algebra，里面就有一些比较专业但又比较详细的notes，比如跟范畴局部化、局部上同调、ring spactra、有理同伦有关的notes。这些大致分两类，一类是lecture notes，这种一般很详细，会给出大多数定理的证明，另一种是topic notes，这种比较短，内容凝炼，主要给你介绍一个学科或者一门技术，里面多引用少证明。

最后一个是Memoirs系列，这个系列是比较专业的长论文，比如Hovey他们的Axiomatic Stable Homotopy Theory，里面就讲了一种利用三角范畴的公理化方法。还有Heller的homotopy theories，里面讲了类似于Grothendieck derivator的方法。