拓扑学|笔记整理（1）映射的同伦

大家好！

在这篇笔记中，我将假定各位读者已经具备了一定的拓扑学基础，其中包括但不限于 拓扑空间以及映射 的部分知识。如果你对那些知识仍然了解得不是特别清晰，那么你可以去阅读专栏

一个大学生的日常笔记 中的相应内容。

此外，我所使用的教材有两本，一本是北京大学出版社尤承业编写的 《基础拓扑学讲义》 ，另一本是Munkres编写的 《Topology》 。

值得一提的是，由于拓扑学的特殊性，我们的很多内容都会有相当的几何直观性。在学习拓扑学的过程中， 千万不能让一些概念的代数化的形式掩盖它的几何直观 （说的就是你，同调论）。另外，我的笔记可能更侧重于每一个定理背后的理解以及相对的几何含义。更加严谨的证明还是需要去翻阅我提及的那两本教材。

拓扑空间与道路

关于一些基础定义的整理

接下来我们可以开始了。

曾经我听过这样一个笑话：

A问B：”你知道为什么在数学家眼里，甜甜圈和带把手的茶杯是同一个东西吗？“
B说：”我不知道。”
A说：”因为它们都有一个洞！“

虽然我相信不会有任何一个拓扑学家会把甜甜圈与茶杯搞混，但是这个笑话确实揭示了一些拓扑学所研究的东西。试想，我们该怎么用拓扑空间和连续函数，来区分一个甜甜圈和一个印度飞饼呢？

无比聪明的数学家们想到了一个办法：我们往两个东西上面撒沙拉酱！首先沿着甜甜圈的最外层撒一圈，然后沿着印度飞饼的最外层撒一圈。接下来我们慢慢 缩小所 撒的沙拉酱圈——甜甜圈上的沙拉酱撒到最内层的时候仍然是一个圈（再缩小就会掉到地上了），印度飞饼上的沙拉酱就可以缩小到圆心的那个小点。

我们试着用数学语言来将上面的过程“数学化”。

显然我们要设甜甜圈和印度飞饼是两个拓扑空间，那么关键的沙拉酱是就是所谓的“道路”。

定义 ：设X是一个拓扑空间，从单位闭区间 I = \left[ 0，1 \right] 到X的一个连续映射a： I \rightarrow X成为X上的一条 道路。 把点a(0)和a(1)分别称为a的 起点 和 终点 ，统称 端点。
起点和终点重合的道路成为 闭路。

对于道路，我们有两种简单的运算： 逆和乘积。

定义 ：道路a： I \rightarrow X的逆也是X上的道路，记作 \bar{a} ，规定为 \bar{a}(t)=a(1-t)
定义 ：X上的两条道路a和b如果满足a(1)=b(0),则规定它们的乘积ab为 ab(t)=a(2t),0\leq t\leq \frac{1}{2} , ab(t)=b(2t-1), \frac{1}{2}\leq t \leq1

显然，从几何直观上来看，一条道路的逆就是将之前道路反过来走；两条道路的乘积就是将两条道路连在一起走。

映射的同伦

接下来，我们来准确定义刚刚在甜甜圈和印度飞饼上“缩小"沙拉酱圈的操作。

注意到，我们在定义拓扑空间中的一条曲线时所用的手法是引入一个时间参量，也就是将单位区间 I 连续地映入拓扑空间中。那么对于映射，我们也可以采用类似地手法。

定义 ：设f,g是从X到Y的连续映射。如果存在连续映射H:X \times I \rightarrow Y,使得 \forall x \in X， H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x) ,则称f与g 同伦， 记作 f\simeq g ;称H是连接f和g的一个 伦移

举两个简单的例子：

例题： 设f，g是从拓扑空间X到三维空间E^{3}的连续映射。规定H:X\times I \rightarrow E^3为
H(x,t)=(1-t)f(x)+tg（x）

我们可以看到，H的效果是让函数均匀地从f变化为g。对于每一点x，当t从0变为1时，图像从f(x)沿直线变化为g(x）。称这一同伦为 直线同伦。

例题： 设f，g是从拓扑空间X到二维圆周S^2 的连续映射，并且\forall x\in X,f(x)\ne -g(x)
规定f到g的同伦H为 H(x,t)=\frac{(1-t)f(x)+tg(x)}{\left|| (1-t)f(x)+tg(x) \right||}

显然， (1-t)f(x)+tg（x） 是f(x)和g(x)之间的线段上的一点，那么在商去这一点范数之后我们将这一点投射到了二维圆周上（模长为1）。上述函数分母不为零是因为原点O不在该线段上（具体证明留作习题）。

最后我们提出本节最重要的命题

命题： 同伦关系是一种等价关系。

该定理的证明一点也不困难，请读者着自行构造反身性、对称性和传递性的同伦映射（留做习题）。

拓扑空间X中的所有道路在同伦关系下分成的等价类成为X的 道路类。

作为练习，请读者证明道路类 逆和乘积 的定义是合理的，也就是验证逆和乘积与代表元的选取无关。另外，道路类的乘法有 结合律， 证明留做习题。