偏导数与全微分
导数与微分 讨论的函数只有一个自变量，这种函数叫做一元函数，但很多实际问题往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量，这就提出了多元函数的微分问题。
比如圆柱体的体积 V 和它的底半径 r , 高 h 之间具有关系:
V=\pi r^{2}h \\
我们先以二元函数为例，因为从一元函数到二元函数会产生新的问题，而从二元函数到二元以上的函数则可以类推。
多元函数的概念
定义 设 D 是 R^{2} 的一个非空子集，称映射 f:D\to R 为定义在 D 上的二元函数，通常记为:
z=f(x,y), (x,y)\in D \\
其中点集 D 称为函数的定义域， x, y 称为自变量, z 称为因变量。
一般地，把上述定义的平面点集 D 换成 n 维空间 R^{n} 内的点集 D ，映射 f: D\to R 就称为定义在 D 上的 n 元函数，通常记为
u=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}), (x_{1},...,x_{n})\in D \\
偏导数的定义及其计算法
多元函数的自变量不止一个，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的导数。以二元函数 z=f(x,y) 为例，如果只有自变量 x 变化，而自变量 y 固定（即看做常量），这时它就是 x 的一元函数，此时函数对 x 的导数，就称为二元函数 z=f(x,y) 对于 x 的偏导数，即有如下定义：
设函数 z=f(x,y) 在点 (x_{0},y_{0}) 的某邻域内有定义，当 y 固定在 y_{0} 而 x 在 x_{0} 处有增量 \Delta x 时，相应的函数有增量:
f(x_{0}+\Delta x, y_{0})-f(x_{0}, y_{0})
如果
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0}+\Delta x, y_{0}) - f(x_{0}, y_{0})}{\Delta x}
存在，则称此极限为函数 z=f(x,y) 在点 (x_{0}, y_{0}) 处对 x 的偏导数，记作
\frac{\partial z}{\partial x}|{x=x_{0},y=y_{0}},\frac{\partial f}{\partial x}|{x=x_{0},y=y_{0}}, f_{x}(x_{0}, y_{0})
类似地，函数 z=f(x,y) 在点 (x_{0}, y_{0}) 处对 y 的偏导数定义为
\lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_{0}, y_{0} + \Delta y)-f(x_{0}, y_{0})}{\Delta y}
记作
\frac{\partial z}{\partial y}|{x=x_{0}, y=y_{0}}, \frac{\partial f}{\partial y}|{x=x_{0}, y=y_{0}}, f_{y}(x_{0}, y_{0})
如果函数 z=f(x,y) 在区域 D 内每一点 (x,y) 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x, y 的函数，它就称为函数 z=f(x,y) 对自变量 x 的偏导函数，记作:
\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial x}, f_{x}(x,y)
类似地，可以定义函数 z=f(x,y) 对自变量 y 的偏导函数，记作:
\frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial y}, f_{y}(x,y)
偏导函数也简称为 偏导数 ，导函数简称为 导数 。
至于偏导数的求解，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看做固定的，所以仍旧是一元函数的求导问题，比如求 \frac{\partial f}{\partial x} 时，只要把 y 暂时看做常量而对 x 求导数。
偏导数的概念很容易推广到二元以上的函数。例如三元函数 u=f(x,y,z) 在点 (x,y,z) 处对 x 的偏导数定义为
f_{x}(x,y,z)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x, y, z)-f(x,y,z)}{\Delta x}
一个有趣的问题: 已知理想气体的状态方程 pV=RT ,( R 为常量),求证:
\frac{\partial p}{\partial V}\frac{\partial V}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial p}=-1 \\
证明: 因为 p=\frac{RT}{V} , 所以
\frac{\partial p}{\partial V}=-\frac{RT}{V^{2}}
而 V=\frac{RT}{p} ，所以
\frac{\partial V}{\partial T}=\frac{R}{p}
而 T=\frac{pV}{R} ，所以
\frac{\partial T}{\partial p}=\frac{V}{R}
所以 \frac{\partial p}{\partial V}\frac{\partial V}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial p}=-1
对一元函数来说， \frac{dy}{dx} 可以看做函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商，而上面的问题表明， 偏导数的记号是一个整体记号，不能看做分子与分母之商 。
全微分
由偏导数的定义知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于自变量的变化率。由一元函数增量与微分的关系，可得
f(x+\Delta x, y)-f(x,y)\approx f_{x}(x,y)\Delta x
f(x, y +\Delta y)-f(x,y)\approx f_{y}(x,y)\Delta y
上述两式的左端分别叫做二元函数对 x 和对 y 的偏增量，而右端分别叫做二元函数对 x 和对 y 的偏微分。
在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题。
设函数 z=f(x,y) 在点 P(x,y) 的某邻域内有定义， P(x+\Delta x, y+ \Delta y) 为邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差 f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y) 为函数在点 P 对应于自变量增量 \Delta x, \Delta y 的全增量，记作 \Delta z ，即
\Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y)
一般来说计算全增量比较复杂，我们希望用自变量的增量的线性函数来近似地代替函数的全增量，
定义 设函数 z=f(x,y) 在点 (x,y) 的某邻域内有定义，如果函数在点 (x,y) 的全增量
\Delta z=f(x+\Delta x, y+ \Delta y)-f(x,y)
可表示为
\Delta z = A\Delta x + B \Delta y + o(\sigma)
其中 A, B 不依赖于 \Delta x, \Delta y ，并且 \sigma = \sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} ，则称函数 z=f(x,y) 在点 (x,y) 可微分，而 A\Delta x + B\Delta y 称为函数 z=f(x,y) 在点 (x,y) 的全微分，记作 dz ，即
dz=A\Delta x + B\Delta y
注意 只有函数可微，全增量才是自变量增量的线性函数。
全微分与偏导数 结论拿来直接用，如果函数 z=f(x,y) 偏导数都存在且连续，则全微分存在，可写为
dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy
或
dz=f_{x}dx + f_{y}dy
多元函数的求导法则
和一元函数相同，多元函数求导法则包括加法法则、乘法法则和复合函数链式法则。
- \frac{\partial(f(\mathbf{x})+g(\mathbf{x}))}{\partial \mathbf{x}} = \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}+\frac{\partial g}{\partial \mathbf{x}} \\
- \frac{\partial(f(\mathbf{x})g(\mathbf{x}))}{\partial\mathbf{x}} = \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}g(\mathbf{x})+f(\mathbf{x})\frac{\partial g}{\partial \mathbf{x}} \\
复合函数的链式法则可以分为两类情况：一元函数与多元函数复合、多元函数与多元函数复合。
一元函数与多元函数复合的情形
如果函数 u=\phi(t) 和 v=\mu(t) 都在点 t 可导，函数 z=f(u,v) 在对应点 (u,v) 具有连续偏导数，则复合函数 z=f[\phi(t), \mu(t)] 在点 t 可导，且有
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}
为什么是相加呢？看下证明过程。
证: 设 t 获得增量 \Delta t ，这时 u,v 对应的增量分别是 \Delta u, \Delta v ，函数 z 相应的获得增量 \Delta z ，由于 z 在点 (u, v) 具有连续偏导数，这时函数的全增量 \Delta z 可表示为
\Delta z = \frac{\partial z}{\partial u}\Delta u + \frac{\partial z}{\partial u}\Delta u + e_{1}\Delta u + e_{2}\Delta v
这里,当 \Delta u\to 0, \Delta v \to 0 时, e_{1} \to 0, e_{2}\to 0 。
将上式两边各除以 \Delta t ，得
\frac{\Delta z}{\Delta t} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\Delta u}{\Delta t} + \frac{\partial z}{\partial u}\frac {\Delta u} {\Delta t} + e_{1}\frac{\Delta u}{\Delta t} + e_{2}\frac {\Delta v}{\Delta t}
因为当 \Delta t\to 0 时, \Delta u \to 0, \Delta v \to 0, \frac{\Delta u}{\Delta t} \to \frac{du}{dt}, \frac{\Delta v}{\Delta t} \to \frac{dv}{dt} ，所以
\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta z}{\Delta t}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}
这就证明了复合函数 z=f[\phi(t), \mu(t)] 在点 t 可导，且导数就是上式。
归根到底是因为 全微分的叠加定理 ，即全微分等于偏微分之和。
多元函数与多元函数复合的情形
如果函数 u=\phi(x,y) 和 v=\mu(x,y) 都在点 (x,y) 具有对 x 及对 y 的偏导数，函数 z=f(u,v) 在对应点 (u,v) 具有连续偏导数，则复合函数 z=f[\phi(x,y), \mu(x,y)] 在点 (x,y) 的两个偏导数都存在，且有
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}
