设变量
\(u\)
从它的一个初值
\(u_1\)
变到终值
\(u_2\)
，终值与初值的差
\(u_2 - u_1\)
就叫做变量
\(u\)
的
增量
，记作
\(\Delta u\)
，即
\[\Delta u = u_2 - u_1
\]
增量
\(\Delta u\)
可以是正的，也可以是负的。
应该注意到：记号
\(\Delta u\)
并不表示某个量
\(\Delta\)
与变量
\(u\)
的乘积，而是一个整体不可分割的记号。
现在假定函数
\(y = f(x)\)
在点
\(x_0\)
的某一个邻域内是有定义的。当自变量
\(x\)
在这个邻域内从
\(x_0\)
变到
\(x_0 + \Delta x\)
时，函数值（或因变量）
\(f(x)\)
相应地从
\(f(x_0)\)
变到
\(f(x_0 + \Delta x)\)
，因此，函数值（或因变量）
\(f(x)\)
的对应增量为
\[\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)
\]
习惯上也称
\(\Delta y\)
为函数的增量。
由此，可以定义函数的连续性，如下：
设函数
\(y = f(x)\)
在点
\(x_0)\)
的某一个邻域内有定义，如果
\[\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} [ f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) ] = 0 \quad ，
\]
那么就称函数
\(y = f(x)\)
在点
\(x_0\)
连续。
导数的定义： 设函数
\(y = f(x)\)
在点
\(x_0\)
的某个邻域内有定义，当自变量
\(x\)
在
\(x_0\)
处取得增量
\(\Delta x\)
（点
\(x_0 + \Delta x\)
仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量
\(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\)
；如果
\(\Delta y\)
与
\(\Delta x\)
之比当
\(\Delta x \to 0\)
时的极限存在，那么称函数
\(y = f(x)\)
在点
\(x_0\)
处可导，并称这个极限为函数
\(y = f(x)\)
在点
\(x_0\)
处的导数，记为
\(f'(x)\)
，即
\[f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \quad ,
\]
也可记作
\(y'|_{x = x_0}\)
，$$\frac{dy}{dx}|_{x = x_0}$ 或
\(\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}\)
。
可以看出，导数等于
增量
\(\Delta y\)
和增量
\(\Delta x\)
比值的极限
。
函数的微分
微分的定义： 设函数
\(y=f(x)\)
在某区间内有定义，
\(x_0\)
及
\(x_0 + \Delta x\)
在这个区间内，如果函数的增量
\[\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)
\]
可表示为
\[\Delta y = A \Delta x + \mathit{o}(\Delta x)
\]
其中，
\(A\)
是不依赖于
\(\Delta x\)
的常数，那么，称函数
\(y=f(x)\)
在点
\(x_0\)
是可微的，而
\(A\Delta x\)
叫做函数
\(y = f(x)\)
在点
\(x_0\)
相应于自变量增量
\(\Delta x\)
的微分，即
\[dy = A \Delta x
\]
注： 函数
\(f(x)\)
在点
\(x_0\)
可微的充要条件是函数
\(f(x)\)
在点
\(x_0\)
可导。
微分的意思是指，因变量的增量
\(\Delta y\)
，是自变量的增量
\(\Delta x\)
的线性函数，且记作
\(dy\)
。所以说，应该有如下关系：
增量
\(\Delta y\)
是实实在在、真实的变化值。只是，只有当可导的时候，才能写成
\(\Delta y = A \Delta x + \mathit{o}(\Delta x) = dy + \mathit{o}(\Delta x) = dy + \mathit{o}(dy)\)
。也就是说，微分，只是增量
\(\Delta y\)
的一个近似值。
另外一点，在定义导数的时候，也是用增量
\(\Delta y\)
与
\(\Delta x\)
的比值来定义的，并不是用微分。只是，导数的值，刚好等于微分
\(dy\)
与
\(dx\)
的比值。
注二：
通常把自变量
\(x\)
的增量
\(\Delta x\)
称为
自变量的微分
，记作
\(dx\)
，即
\(dx = \Delta x\)
。于是，函数
\(y = f(x)\)
的微分又可记作为
\[dy = f'(x) dx
\]
从而有
\[\frac{dy}{dx} = f'(x)
\]
这就是说，函数的微分
\(dy\)
与自变量的微分
\(dx\)
之商等于该函数的导数，因此，导数也叫作“微商”。
微分的几何意义
如下图所示，自变量的增量为
\(\Delta x = PR\)
，因变量的增量为
\(\Delta y = RQ\)
。那么，在
\(x_0\)
点作曲线的切线，则得到函数
\(y=f(x)\)
在点
\(x_0\)
相应于自变量增量
\(\Delta x\)
的微分
\(dy = RQ'\)
。
由此可见，对于可微函数
\(y = f(x)\)
而言，当
\(\Delta y\)
是曲线
\(y = f(x)\)
上的点的纵坐标的增量时，
\(dy\)
就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。
只是，当
\(|\Delta x|\)
很小时，$|\Delta y - dy| 比 $|\Delta x| 小得多。因此，在点 M 的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段。这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这是微分学的基本思想之一。
基本初等函数的微分公式与微分运算法则
从函数的微分表达式
\[dy = f'(x) dx
\]
可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘自变量的微分。那么，可得到如下的微分公式和微分运算法则：
偏导数的定义： 设函数
\(z=f(x,y)\)
在点
\((x_0, y_0)\)
的某一邻域内有定义，当
\(y\)
固定在
\(y_0\)
而
\(x\)
在
\(x_0\)
处有增量
\(\Delta x\)
时，相应的函数有增量
\[f(x_0 + x, y_0) - f(x_0, y_0)
\]
如果
\[\lim{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}
\]
存在，那么称此极限为函数
\(z = f(x, y)\)
在点
\((x_0, y_0)\)
处对
\(x\)
的偏导数，记作
\[\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{\begin{split} x=x_0 \\ y = y_0 \end{split}}, \quad
\]
如果函数
\(z = f(x, y)\)
在区域
\(D\)
内每一个点
\((x, y)\)
处对
\(x\)
的偏导数都存在，那么这个偏导数就是
\(x\)
，
\(y\)
的函数，它就称为函数
\(z = f(x, y)\)
对自变量
\(x\)
的偏导函数，记作
\[\frac{\partial z}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial x}, \quad 或 \quad f_x(x, y)
\]
类似地，可以定义函数
\(z=f(x,y)\)
对自变量
\(y\)
的偏导函数，记作
\[\frac{\partial z}{\partial y}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}, \quad 或 \quad f_y(x, y)
\]
注：偏导数仍然是增量的比值。
偏导数的几何意义：偏导数
\(f_x(x, y)\)
的几何意义是曲面被平面
\(y = y_0\)
所截得的曲线在点
\(x_0\)
处的斜率。
偏微分 / 全微分
根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得
\[\begin{split}
f(x+\Delta x, y) - f(x, y) \approx f_x(x, y) \Delta x, \\
f(x, y+\Delta y) - f(x, y) \approx f_y(x, y) \Delta y,
\end{split}\]
上面两式的左端分别叫做二元函数对
\(x\)
和对
\(y\)
的偏增量，而右端分别叫做二元函数对
\(x\)
和对
\(y\)
的偏微分。
全增量：
设函数
\(z = f(x,y)\)
在点
\(P(x, y)\)
的某个邻域内有定义，
\(P'(x + \Delta x, y+\Delta y)\)
为这个邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差
\(f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x,y)\)
为函数在点
\(P\)
对应于自变量增量
\(\Delta x\)
和
\(\Delta y\)
的全增量，记作
\(\Delta z\)
，即
\[\Delta z = f(x +\Delta x, y+\Delta y) - f(x, y)
\]
注：一般来说，计算全增量
\(\Delta z\)
比较复杂。与一元函数的情形类似，我们希望用自变量的增量
\(\Delta x\)
和
\(\Delta y\)
的线性函数来近似地代替函数的全增量
\(\Delta z\)
，从而引入如下定义：
全微分的定义：
设函数
\(z = f(x, y)\)
在点
\((x, y)\)
的某个邻域内有定义，如果函数在点
\((x, y)\)
的全增量
\[\Delta z = f(x +\Delta x, y+\Delta y) - f(x, y)
\]
可表示为
\[\Delta z = A\Delta x +B\Delta y +\mathit{o}(\rho)
\]
其中，
\(A\)
和
\(B\)
不依赖于
\(\Delta x\)
和
\(\Delta y\)
而仅与
\(x\)
和
\(y\)
有关，
\(\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 +(\Delta y)^2}\)
，那么称函数
\(z=f(x,y)\)
在点
\((x,y)\)
可微分，而
\(A\Delta x + B\Delta y\)
称为函数
\(z=f(x,y)\)
在点
\((x, y)\)
的全微分，记作
\(dz\)
，即
\[dz = A\Delta x + B\Delta y
\]
可微与可导的关系
定理1： 如果函数
\(z = f(x, y)\)
在点
\((x, y)\)
可微分，那么该函数在点
\((x, y)\)
的偏导数
\(\frac{\partial z}{\partial x}\)
与
\(\frac{\partial z}{\partial y}\)
必定存在，且函数
\(z = f(x, y)\)
在点
\((x, y)\)
的全微分为
\[dz = \frac{\partial z}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial z}{\partial y} \Delta y
\]
定理2： 如果函数
\(z = f(x, y)\)
的偏导数
\(\frac{\partial z}{\partial x}\)
与
\(\frac{\partial z}{\partial y}\)
在点
\((x, y)\)
连续，那么该函数在该点可微分。
总的来说，讲的是
增量、导数、微分
之间的关系。增量是变化的准确值，而微分，则是增量的一个近似值。导数，是该点处的斜率，也是增量比值的极限。
