|
|
- 中文名
- 微分
- 外文名
- Differential
- 所属学科
- 微分几何
- 概 述
- 一种线性描述
- 一元型
- 定义 推导
- 切线微分
- 当自变量为固定值
- 运算法则
- 基本法则 连锁律 乘法律
定义
df(p)(v):=v(f)，v∈T
p
M。
性质
发展历史
早在希腊时期，人类已经开始讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念。这些都是
微积分
的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论证和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步
[3]
。
例如公元前五世纪，希腊的
德谟克利特
（Democritus）提出原子论：他认为宇宙万物是由极细的原子构成。在中国，《
庄子
．天下篇》中所言的「一尺之捶，日取其半，万世不竭」，亦指零是无穷小量。这些都是最早期人类对无穷、极限等概念的原始的描述。
其他关于无穷、极限的论述，还包括
芝诺
（Zeno）几个著名的悖论：其中一个悖论说一个人永远都追不上一只乌龟，因为当那人追到乌龟的出发点时，乌龟已经向前爬行了一小段路，当他再追完这一小段，乌龟又已经再向前爬行了一小段路。芝诺说这样一追一赶的永远重覆下去，任何人都总追不上一只最慢的乌龟－－当然，从现代的观点看，芝诺说的实在荒谬不过；他混淆了「无限」和「无限可分」的概念。人追乌龟经过的那段路纵然无限可分，其长度却是有限的；所以人仍然可以以有限的时间，走完这一段路。然而这些荒谬的论述，开启了人类对无穷、极限等概念的探讨，对后世发展微积分有深远的历史意味。
另外值得一提的是，希腊时代的
阿基米德
（Archimedes）已经懂得用无穷分割的方法正确地计算一些面积，这跟现代积分的观念已经很相似。由此可见，在历史上，积分观念的形成比微分还要早－－这跟课程上往往先讨论微分再讨论积分刚好相反。
十七世纪的大发展牛顿和莱布尼茨的贡献
中世纪时期，欧洲科学发展停滞不前，人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有什么突破。中世纪以后，欧洲数学和科学急速发展，微积分的观念也于此时趋于成熟。在积分方面，一六一五年，
开普勒
（Kepler）把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件，从而求出其体积。而伽利略（Galileo）的学生卡瓦列里（Cavalieri）即认为一条线由无穷多个点构成；一个面由无穷多条线构成；一个立体由无穷多个面构成。这些想法都是积分法的前驱。
在微分方面，十七世纪人类也有很大的突破。
费马
（Fermat）在一封给罗贝瓦（Roberval）的信中，提及计算函数的极大值和极小值的步骤，而这实际上已相当于现代微分学中所用，设函数导数为零，然后求出函数极点的方法。另外，巴罗（Barrow）亦已经懂得透过「微分三角形」（相当于以dx、dy、ds为边的三角形）求出切线的方程，这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的。由此可见，人类在十七世纪已经掌握了微分的要领。
然而，直至十七世纪中叶，人类仍然认为微分和积分是两个独立的观念。就在这个时候，牛顿和
莱布尼茨
将微分及积分两个貌似不相关的问题，透过「微积分基本定理」或「牛顿－莱布尼茨公式」联系起来，说明求积分基本上是求微分之逆，求微分也是求积分之逆。这是微积分理论中的基石，是微积分发展一个重要的里程碑。
一元型
设函数y = f(x)在x的
邻域
内有定义，x及x + Δx在此
区间
内。如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不随Δx改变的常量，但A可以随x改变），而o(Δx)是比Δx高阶的
无穷小
（注：o读作奥密克戎，希腊字母）那么称函数f(x)在点x是
可微
的，且AΔx称作函数在点x相应于
因变量
增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的
线性主部
（△x→0）。
通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数
因变量
的微分与自变量的微分之商等于该函数的
导数
。因此，导数也叫做微商。
当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。一元
微积分
中，可微
可导
等价。记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。
微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的
线性化
。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。
设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx)，其中A是不依赖于△x的常数， o(Δx)是△x的高阶无穷小，则称函数y = f(x)在点x0是可微的。 AΔx叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的
高阶无穷小
量，我们把dy称作△y的
线性主部
。得出： 当△x→0时，△y≈dy。 导数的记号为：(dy)/(dx)=f′(X)，我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的
比值
（把△x看成dx，即：定义自变量的增量等于自变量的微分），还可表示为dy=f′(X)dX。
[4]
设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在
横坐标
上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在
纵坐标
上的增量，dy是曲 线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多(
高阶无穷小
)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。
[4]
多元型
高阶型
那么称函数f在点x处可微。线性映射A叫做f在点x处的微分，记作
。
当函数在某个区域的每一点x都有微分
时，可以考虑将x映射到
的函数：
这个函数一般称为
微分函数
。
设f是从Rn射到Rm的函数，f=(f1,f2,...fm)，那么：
具体来说，对于一个改变量：
，微分值：
可微的必要条件：如果函数f在一点x_0处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素
都存在，但反之不真。
可微的充分条件：如果函数f在一点x_0的雅克比矩阵的每一个元素\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)都在x_0连续，那么函数在这点处可微，但反之不真。
微分为：
，也就是：
我们对函数y进行微分，得出导数
，由于微分只进行了一次，所以
又被称为一阶导数。
这时，我们微分
，得出
，那么
被称为二阶导数。
切线微分
需要求出曲线上一点的
斜率
时，前人往往采用作图法，将该点的
切线
画出，以切线的斜率作为该点的斜率。然而，画出来的切线是有误差的，也就是说，以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率
[2]
。微分最早就是为了从数学上解决这一问题而产生的。
当x = 3 +Δx 时，y = 9+ Δy，也就是说，
（两边除以△x）
∵
（m为曲线在(3,9)上的斜率，
为直线斜率）
∴
我们得出，
在点(3,9)处的斜率为6。
当自变量为任意值
在很多情况下，我们需要求出曲线上许多点的斜率，如果每一个点都按上面的方法求斜率，将会消耗大量时间，计算也容易出现误差，这里我们仍以
为例，计算图象上任意一点的斜率m。
假设该点为(x,y)，做对照的另一点为(
,
)，我们按上面的方法再计算一遍：
∵
∴
我们得出，y=x
2
在点(x,y)处的斜率为2x。
从二次函数到幂函数
通过以上的方法，我们可以得出x的二次函数在任意一点上的斜率，但是这远远不够。我们需要把这种方法扩充到所有的
幂函数
。假设有函数
，假设函数上有一点(x,y)和另一点(x+Δx,y+Δy) ，我们可以这样计算斜率：
我们得出，
在点(x,y)处的斜率为
。
从幂函数到单项式
我们得出，
在点(x,y)处的斜率为
。
这就是微分的基本公式，“基本法则”目录有详细的说明。
单项式
当函数为单项式
（a和n为常数）的形式时，有基本公式：
注意：基本公式极为重要，在学习更为复杂的运算法则前请务必牢记。
多项式
当函数为几个
形式的单项式的和或差时，这个函数的导数只需在原函数的导数上进行加减即可。
以函数
为例，将其拆分为两个函数
和
，且
。
可以得出
，
。
y=u+v
同理可以得出
最后得出公式：
注意：
f'(x)
是函数f(x)的导数。
运算法则
导数
d/dx(sin x)
=limδx→0 δy/δx
=limδx→0 [sin (x+δx)-sin x]/δx
=limδx→0 2[cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/δx （sin A-sin B=2[cos 0.5(A+B)][sin 0.5(A-B)]）
=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/0.5δx （两边除以2）
=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×[sin 0.5(δx)]/0.5δx
=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×limδx→0 [sin 0.5(δx)]/0.5δx
=cos 0.5(2x)×1 （limθ→0 (sin θ)/θ=1）
=cos x
最后得出
d/dx(sin x)=cos x
。
余弦函数
的导数
我们知道cos x=sin(π/2-x)，所以d/dx(cos x)=d/dx[sin (π/2-x)]。
d/dx(cos x)
=d/dx[sin (π/2-x)]
=d/du[sin (π/2-x)]×d/dx(π/2-x) （连锁律）
=cos (π/2-x)×(-1) （d/dx(sin x)=cos x）
=-cos (π/2-x)
=-sin x （cos (π/2-x)=sin x）
最后得出
d/dx(cos x)=-sin x
。
正切函数
的导数
d/dx(tan x)
=d/dx[(sin x)/(cos x)] （tan x=(sin x)/(cos x)）
=[(cos x)d/dx(sin x)-(sin x)d/dx(cos x)]/(cos^2 x) （除法律）
=[cos^2 x-(sin x)(-sin x)]/cos^2 x
=(cos^2 x+sin^2 x)/cos^2 x
=1/cos^2 x
=sec^2 x
最后得出
d/dx(tan x)=sec^2 x
。
三角函数
的应用1
当我们遇到y=sin/cos/tan u（u是自变量为x的函数且常为ax+b的形式）这类函数的时候，可以使用连锁律求导：
①y=sin u
d/dx(sin u)
=(dy/du)(du/dx) （连锁律）
=(cos u)(du/dx)
当u的形式为ax+b时，du/dx=a，所以：
d/dx[sin(ax+b)]=a[cos(ax+b)]
②y=cos
当u的形式为ax+b时，du/dx=a，所以：
d/dx[cos(ax+b)]=-a[sin(ax+b)]
③y=tan u
d/dx(tan u)
=(dy/du)(du/dx) （连锁律）
=(sec^2 u)(du/dx)
当u的形式为ax+b时，du/dx=a，所以：
d/dx[tan(ax+b)]=a[sec^2(ax+b)]
三角函数的应用2
有时我们需要对y=sin^n x或y=cos^n x（n为常数）这类函数求导，使用连锁律也可以解决：
这里我们使用“连锁律的应用1”中得到的公式：d/dx(y^n)=[ny^(n-1)](dy/dx)
①y=sin^n x
dy/dx
=n[sin^(n-1) x]d/dx(sin x)
=n[sin^(n-1) x](cos x)
②y=cos^n x
dy/dx
=n[cos^(n-1) x]d/dx(cos x)
=-n[cos^(n-1) x](sin x)
得出公式：
d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x)
d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)
因此，函数e^x的导数由以下公式获得
证明：y=e^x,
y+dy=e^(x+dx),
dy=e^(x+dx)-e^x
=e^x(e^dx-1)
=e^x(1+dx+dx^2/2!+……+dx^n/n!-1){e^a=1+a+a^n/n!（n∈N）}
≈dxe^x
∴d/dx(e^x)=e^x
自然指数函数的应用
我们可以使用连锁律对y=e^u（u是自变量为x的函数）求导：
dy/dx
=(dy/du)(du/dx) （连锁律）
=[d/du(e^u)](du/dx)
=(e^u)(du/dx)
最后得出：
d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx)
如果u的形式为ax+b（a和b均为常数），那么du/dx=a，可以得出：
d/dx[e^(ax+b)]=ae^(ax+b)
自然对数
函数的导数
我们可以通过d/dx(e^x)=e^x对自然对数函数y=ln x求导：
y=ln x
x=e^y
d/dx(x)=d/dx(e^y)
d/dx(x)=d/dy(e^y)(dy/dx) （连锁律）
d/dx(x)=(e^y)(dy/dx)
(e^y)(dy/dx)=1
x(dy/dx)=1 （x=e^y）
dy/dx=1/x
最后得出：
d/dx(ln x)=1/x
自然对数
函数的应用
我们可以使用连锁律对y=ln u（u是自变量为x的函数）求导：
dy/dx
=(dy/du)(du/dx) （连锁律）
=[d/du(ln u)](du/dx)
=(1/u)(du/dx)
可以得出：
d/dx(ln u)=(1/u)(du/dx)
如果u的形式为ax+b（a和b均为常数），那么du/dx=a，可以得出：
d/dx[ln (ax+b)]=a/(ax+b)
微分应用
假设函数y=f(x)的图象为曲线，且曲线上有一点(x1,y1)，那么根据切线斜率的求法，就可以得出该点切线的斜率m：
m=dy/dx在(x1,y1)的值
所以该切线的方程式为：
y-y1=m(x-x1)
由于法线与切线互相垂直，法线的斜率为-1/m且它的方程式为：
y-y1=(-1/m)(x-x1)
增函数与减函数
鉴别方法：dy/dx与0进行比较，dy/dx大于0时，说明dx增加为正值时，dy增加为正值，所以函数为增函数；dy/dx小于0时，说明dx增加为正值时，dy增加为负值，所以函数为减函数。
例1：分析函数y=x^2-1 的增减性
∵y=x^2-1
∴dy/dx=2x
当x>0时，dy/dx>0，所以函数y=x^2-1在x>0时是增函数；
当x<0时，dy/dx<0，所以函数y=x^2-1在x<0时是减函数
[2]
。
变化的速率
微分在日常生活中的应用，就是求出非线性变化中某一时间点特定指标的变化。
比如说，有一个水箱正在加水，水箱里水的体积V（升）和时间t（秒）的关系为V=5-2/(t+1)，
所以我们可以得出在加水开始3秒时，水箱里的水的体积以每秒1/8升的速率增加。
