俄国数学家和力学家A.M. 李雅普诺夫 在1892年所创立的用于分析系统稳定性的理论。对于控制系统，稳定性是需要研究的一个基本问题。在研究 线性定常系统 时，已有许多判据如 代数稳定判据 、 奈奎斯特稳定判据 等可用来判定系统的稳定性。 李雅普诺夫稳定性理论 能同时适用于分析线性系统和 非线性系统 、 定常系统 和 时变系统 的稳定性，是更为一般的稳定性分析方法。李雅普诺夫稳定性理论主要指李雅普诺夫第二方法，又称李雅普诺夫 直接法 。李雅普诺夫第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。与第二方法相对应的是 李雅普诺夫 第一方法，又称李雅普诺夫间接法，它是通过研究 非线性系统 的 线性化 状态方程的特征值的分布来判定 系统稳定性 的。第一方法的影响远不及第二方法。在 现代控制理论 中，李雅普诺夫第二方法是研究稳定性的主要方法，既是研究控制系统理论问题的一种基本工具，又是分析具体控制系统稳定性的一种常用方法。李雅普诺夫第二方法的局限性，是运用时需要有相当的经验和技巧，而且所给出的结论只是系统为稳定或不稳定的充分条件；但在用其他方法无效时，这种方法还能解决一些非线性系统的稳定性问题。现在，随着计算机技术的发展，借助 数字计算机 不仅可以找到所需要的李雅普诺夫函数，而且还能确定系统的稳定区域。但是想要找到一套对于任何系统都普遍使用的方法仍很困难。

李雅普诺夫是俄国著名的 数学家 、力学家。 1857年 6月6日生于 雅罗斯拉夫尔 ， 1918年 11月3日卒于敖德萨。 19世纪 以前， 俄国 的数学是相当落后的，直到 切比雪夫 创立了圣彼得堡数学学派以后，才使得俄罗斯数学摆脱了落后境地而开始走向世界前列。李雅普诺夫与师兄 马尔科夫 是切比雪夫的两个最著名最有才华的学生，他们都是彼得堡数学学派的重要成员。1876年，里雅普诺夫考入 圣彼得堡大学 数学系，1880年在圣彼得堡大学毕业后，留校教力学，1885年在该校获硕士学位。1892年，他的博士论文《论运动稳定性的一般问题》在莫斯科大学通过。1892年起任 哈尔科夫大学 教授。1901年初被选为 彼得堡科学院 通讯院士，同年底成为院士。1902年起在彼得堡科学院工作。里雅普诺夫在 常微分方程定性理论 和天体力学方面的工作使他赢得了国际声誉。在概率论方面，李雅普诺夫引入了特征函数这一有力工具，从一个全新的角度去考察中心极限定理，在相当宽的条件下证明了中心极限定理，特征函数的引入实现了数学方法上的革命。

这一稳定性以俄国数学家 亚历山大·李亚普诺夫 命名，他在1892年发表了他的博士论文《运动稳定性的一般问题》，文中给出了稳定性的科学概念、研究方法和相关理论。李雅普诺夫考虑到针对非线性系统修改稳定理论，修正为以一个稳定点线性化的系统为基础的线性稳定理论。他的作品最初以俄文发行，后翻译为法文，但多年来默默无闻。人们对它的兴趣突然在 冷战 初期（1953至1962年）开始，因当所谓的“李雅普诺夫第二方法”被认为适用于航空航天 制导系统 的稳定性，而这系统通常包含很强的非线性，其他方法并不适用。大量的相关出版物自那时起开始出现，并进入控制系统文献中。最近 李雅普诺夫指数 的概念（与李雅普诺夫稳定性第一种方法）引起了广泛兴趣，并与 混沌理论 结合了起来。

从19世纪末以来， 李雅普诺夫 稳定性理论一直指导着关于稳定性的研究和应用。不少学者遵循李雅普诺夫所开辟的研究路线对第二方法作了一些新的发展。一方面，李雅普诺夫第二方法被推广到研究 一般系统 的稳定性。例如，1957年，В．И． 祖博夫 将李雅普诺夫方法用于研究 度量空间 中不变集合的稳定性。随后，J.P.拉萨尔等又对各种形式抽象系统的李雅普诺夫稳定性进行了研究。在这些研究中，系统的描述不限于微分方程或 差分方程 ，运动平衡状态已采用不变集合表示，李雅普诺夫函数是在更一般意义 下定义 的。1967年，D.布肖对表征在集合与映射水平上的系统建立了李雅普诺夫第二方法。这时，李雅普诺夫函数已不在 实数域 上取值，而是在有序定义的半格上取值。另一方面， 李雅普诺夫 第二方法被用于研究大系统或多级系统的稳定性。此时，李雅普诺夫函数被推广为向量形式，称为向量李雅普诺夫函数。用这种方法可建立大 系统稳定性 的充分条件。

点出发的一条轨线。平衡状态是系统处于 相对静止 时的运动状态，用xe表示，其特点是对时间的 导数 恒等于零，可由求解 函数方程 f(xe，t)=0来定出。为便于表示和分析,常把平衡点xe规定为 状态空间 的原点，这可通过适当的 坐标变换 来实现。因此 李雅普诺夫 第二方法可归结为研究受扰运动轨线相对于状态空间原点的稳定性。

则称x的轨迹有（局部）吸引性（attractive）。若上述条件对所有y均成立，则称x有全局吸引性（globally attractive）。

如果x的轨迹有吸引性，并且稳定，则x渐近稳定。不过，x有吸引性不表示它的轨迹渐近稳定。

考虑一个函数 V(x) : R → R 使得

• 只有在处等号成立（ 正定函数 ）
• （负定）

则 V(x) 称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov function candidate），且系统（依李雅普诺夫的观点）为 渐近稳定 。

上式中是必要的条件。否则，可以用来“证明”有区域性稳定。另一个称为径向无界性（radial unboundedness）的条件则是用来得到全域渐近稳定的结果。

此种分析方式可类比为考虑一物理系统（如弹簧及质量的系统）及其中的能量。若系统能量随时间递减，且减少的能量不会恢复，而此系统最后一定会静止于某个特定的状态。最后的状态称为 吸引子 。不过针对一个物理系统，找到表达其精确能量的函数不一定容易，而且针对抽象数学系统、经济系统或生物系统，上述能量的概念又不一定适用。

利用李雅普诺夫的分析方式，可在不知道系统实际能量的情形下，证明系统的稳定性。不过前提是可以找到满足上述限制的 李雅普诺夫函数 。

李雅普诺夫第二法虽然利用数学严密的证明了物理世界中的物体稳定的规律，但是要寻找到虚构的能量函数V(x)：R并不容易。迄今为止还没有一种通用的办法找到这个函数。然而对于 线性定常系统 来说，找到一个使得状态在原点平衡（xe=0）的渐进稳态的充要条件是：对于任意给定的一个对称 正定矩阵 Q，一定存在唯一正定对称矩阵P，使得原线性定常系统 状态方程 成立。

一个有输入（或受控制）的系统可以下式表示：

X=F（X,U）

其中输入 u(t) 可视为 控制 、 外部输入 、 扰动 、 刺激 或 外力 。这种系统的研究是 控制理论 研究的主题之一，也应用在 控制工程 中。

对于有输入的系统，需量化输入对系统稳定性的影响。在 线性系统 中会用BIBO稳定性来作分析的工具，在 非线性系统 中则会使用输入-状态稳定性。 ^{Kalman, R. E.; Bertram, J. F (1960). "Control System Analysis and Design via the Second Method of Lyapunov". J. Basic Engrg. 88: 371; 394. LaSalle, J. P.; Lefschetz, S. (1961). Stability by Lyapunov's Second Method with Applications. New York: Academic Press. Parks, P. C. (1962). "Liapunov's method in automatic control theory". Control. I Nov 1962 II Dec 1962. 任斌,程良伦. 李雅普诺夫稳定性理论中V函数的构造研究[J]. 自动化与仪器仪表,2009,(02):8-10+49. [2017-08-26]. 冯伟杰. 变分李雅普诺夫方法和稳定性理论[D].山东师范大学,2000. Bhatia, Nam Parshad; Szegő, Giorgio P. (2002). Stability theory of dynamical systems. Springer. ISBN 978-3-540-42748-3. Kalman, R. E. (1963). "Lyapunov functions for the problem of Lur'e in automatic control". Proc Natl Acad Sci USA. 49 (2): 201–205. PMC 299777 Freely accessible. PMID 16591048. mith, M. J.; Wisten, M. B. (1995). "A continuous day-to-day traffic assignment model and the existence of a continuous dynamic user equilibrium". Annals of Operations Research. 60 (1): 59–79. doi:10.1007/BF02031940.}