1. 系统平衡状态

对于一个不受外力作用的系统

x ˙ = f ( x , t ) , x ( t 0 ) = x 0 , t ≥ t 0 \dot{x} = f(x,t), \quad x(t_0) = x_0,\quad t\ge t_0 x˙=f(x,t),x(t0​)=x0​,t≥t0​

如果存在某个状态 x e x_e xe​，使 x e ˙ = f ( x e , t ) = 0 , ∀ x ≥ t 0 \dot{x_e} = f(x_e,t)=0, \quad \forall x \ge t_0 xe​˙​=f(xe​,t)=0,∀x≥t0​成立，则称 x e x_e xe​ 为系统的一个平衡状态。

对于线性系统： x ˙ = A x , A x e = 0 \dot{x}=Ax,\quad Ax_e=0 x˙=Ax,Axe​=0
当 A A A 非奇异，系统只有唯一的一个平衡状态， x e = 0 x_e=0 xe​=0，
当 A A A 奇异，则存在无穷多个平衡状态。

对于非线性系统通常存在多个平衡状态。

例如：对于非线性系统

{ x 1 ˙ = − x 1 x 2 ˙ = x 1 + x 2 − x 2 3 \left\{\begin{aligned} &\dot{x_1} = -x_1\\ &\dot{x_2} = x_1 + x_2 - x_2^3 \end{aligned} \right. {​x1​˙​=−x1​x2​˙​=x1​+x2​−x23​​

其平衡状态为方程：

{ x 1 = 0 x 1 + x 2 − x 2 3 = 0 \left\{\begin{aligned} &{x_1} = 0\\ &x_1 + x_2 - x_2^3 = 0 \end{aligned} \right. {​x1​=0x1​+x2​−x23​=0​

的解，可解得有三个平衡状态： x e 1 = [ 0 0 ] x_{e_1} = \left[\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right] xe1​​=[00​]， x e 2 = [ 0 1 ] x_{e_2} = \left[\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right] xe2​​=[01​]， x e 3 = [ 0 − 1 ] x_{e_3} = \left[\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right] xe3​​=[0−1​]。

孤立的平衡状态：如果平衡状态是彼此孤立的，即在某一平衡状态的任意小的邻域内不存在其他平衡状态，则称该平衡状态为孤立的平衡状态。

2. 稳定性

2.1 李亚普诺夫意义下的稳定

若一不受外力作用的系统（自治系统）

x ˙ = f ( x , t ) , x ( t 0 ) = x 0 , t ≥ t 0 \dot{x}=f(x,t),\quad x(t_0) = x_0, \quad t\ge t_0 x˙=f(x,t),x(t0​)=x0​,t≥t0​

对任意选定的实数 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0，都存在另一实数 δ ( ϵ , t 0 ) > 0 \delta(\epsilon,t_0)>0 δ(ϵ,t0​)>0，使得由满足不等式

∣ ∣ x 0 − x e ∣ ∣ < δ ( ϵ , t 0 ) ||x_0 - x_e|| < \delta(\epsilon,t_0) ∣∣x0​−xe​∣∣<δ(ϵ,t0​)

的任一初始状态出发的受扰运动都满足不等式

∣ ∣ Φ ( t ; x 0 , t 0 ) − x e ∣ ∣ < ϵ , t ≥ t 0 ||\Phi(t;x_0,t_0) - x_e|| < \epsilon,\quad t\ge t_0 ∣∣Φ(t;x0​,t0​)−xe​∣∣<ϵ,t≥t0​

则称孤立平衡状态 x e x_e xe​ 为李亚普诺夫意义下的稳定状态。

如下图所示，系统状态从 x 0 x_0 x0​ 出发，无论怎么运动，都处于蓝色区域之内。

若 δ \delta δ 的取值与 t 0 t_0 t0​ 无关，则称这个孤立平衡状态是一致稳定的。

2.2 渐进稳定 / 2.3 大范围稳定

2.4 不稳定

3. 李亚普诺夫第一法

4. 李亚普诺夫第二法

关于系统正定等概念参考正定 负定 半正定 半负定

5. 李亚普诺夫稳定性判据

定理（李亚普诺夫稳定性主判据）：设系统的状态方程为： x ˙ = f ( x ) \dot{x}=f(x) x˙=f(x)，
若存在一个具有连续一阶导数的标量函数 V ( x ) V(x) V(x) 且满足：

1. V ( x ) V(x) V(x) 是正定的
2. V ( x ) ˙ \dot{V(x)} V(x)˙​ 是负定的；

则系统在平衡状态 x e = 0 x_e=0 xe​=0 是渐进稳定的。

3. 除满足条件（1）、（2）外，若 ∣ ∣ x ∣ ∣ → ∞ ||x||\rightarrow\infty ∣∣x∣∣→∞，有 V ( x ) → ∞ V(x)\rightarrow \infty V(x)→∞，则系统在平衡状态 x e = 0 x_e=0 xe​=0 是大范围渐进稳定的。

例：对于非线性系统

{ x 1 ˙ = x 2 − x 1 ( x 1 2 + x 2 2 ) x 2 ˙ = − x 1 − x 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) \left\{\begin{aligned} &\dot{x_1} = x_2-x_1(x_1^2+x_2^2)\\ &\dot{x_2} = -x_1 - x_2 (x_1^2 + x_2^2) \end{aligned} \right. {​x1​˙​=x2​−x1​(x12​+x22​)x2​˙​=−x1​−x2​(x12​+x22​)​

试判别其平衡状态 x e = 0 x_e=0 xe​=0 的稳定性。

解：取正定标量函数： V ( x ) = x 1 2 + x 2 2 V(x) = x_1^2+x_2^2 V(x)=x12​+x22​

V ( x ) V(x) V(x) 对时间的导数为： V ˙ ( x ) = 2 x 1 x 1 ˙ + 2 x 2 x 2 ˙ = − 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) \dot{V}(x)=2x_1\dot{x_1} + 2x_2\dot{x_2} = -2(x_1^2+x_2^2) V˙(x)=2x1​x1​˙​+2x2​x2​˙​=−2(x12​+x22​)

由于 V ( x ) V(x) V(x) 正定， V ˙ ( x ) \dot{V}(x) V˙(x) 负定，故系统在平衡状态 x e = 0 x_e=0 xe​=0 是渐进稳定的。

由于当 ∣ ∣ x ∣ ∣ → ∞ ||x||\rightarrow\infty ∣∣x∣∣→∞，有 V ( x ) → ∞ V(x)\rightarrow\infty V(x)→∞，故系统在平衡状态 x e = 0 x_e=0 xe​=0 是大范围渐进稳定的。




6. 李亚普诺夫辅助判据

定理（李亚普诺夫稳定性辅助判据）：设系统的状态方程为： x ˙ = f ( x ) \dot{x}=f(x) x˙=f(x)，
若存在一个具有连续一阶导数的标量函数 V ( x ) V(x) V(x) 且满足：

1. V ( x ) V(x) V(x) 是正定的
2. V ( x ) ˙ \dot{V(x)} V(x)˙​ 是半负定的；
3. 对于任意初始状态 x ( t 0 ) ≠ 0 x(t_0)\ne0 x(t0​)​=0，在 t ≥ t 0 t\ge t_0 t≥t0​，除 x = 0 x=0 x=0 时，有 V ˙ ( x ) = 0 \dot{V}(x)=0 V˙(x)=0外， V ˙ ( x ) \dot{V}(x) V˙(x) 不恒等于零。
   则系统在平衡状态 x e = 0 x_e=0 xe​=0 是渐进稳定的。
4. 除满足条件（1）、（2）、（3）外，若 ∣ ∣ x ∣ ∣ → ∞ ||x||\rightarrow\infty ∣∣x∣∣→∞，有 V ( x ) → ∞ V(x)\rightarrow \infty V(x)→∞，则系统在平衡状态 x e = 0 x_e=0 xe​=0 是大范围渐进稳定的。

注：
V ˙ ( x ) \dot{V}(x) V˙(x) 半负定，说明在 t ≥ t 0 t\ge t_0 t≥t0​ 的某些时刻，系统的“能量”不再减少；
V ˙ ( x ) \dot{V}(x) V˙(x) 不恒等于零，表明系统“能量”不再减少的状态不能保持，即系统会继续减少能量，直到平衡状态。




7. 李亚普诺夫不稳定判据

定理（李亚普诺夫不稳定性判据）：设系统的状态方程为： x ˙ = f ( x ) \dot{x}=f(x) x˙=f(x)，
若存在一个具有连续一阶导数的标量函数 V ( x ) V(x) V(x) 且满足：

1. V ( x ) V(x) V(x) 是正定的
2. V ˙ ( x ) \dot{V}(x) V˙(x) 是正定的；

则系统在平衡状态 x e = 0 x_e=0 xe​=0 是不稳定的。

例：系统的状态方程为：

{ x 1 ˙ = x 1 + x 2 x 2 ˙ = − x 1 + x 2 \left\{\begin{aligned} &\dot{x_1} = x_1 + x_2\\ &\dot{x_2} = -x_1 + x_2 \end{aligned} \right. {​x1​˙​=x1​+x2​x2​˙​=−x1​+x2​​

试判别其平衡状态 x e = 0 x_e=0 xe​=0 的稳定性。

解：取正定标量函数： V ( x ) = x 1 2 + x 2 2 V(x)=x_1^2+x_2^2 V(x)=x12​+x22​

V ( x ) V(x) V(x) 对时间的导数为： V ˙ ( x ) = 2 x 1 x 1 ˙ + 2 x 2 x 2 ˙ = 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) \dot{V}(x)=2x_1\dot{x_1} + 2x_2\dot{x_2} = 2(x_1^2+x_2^2) V˙(x)=2x1​x1​˙​+2x2​x2​˙​=2(x12​+x22​)

由于 V ( x ) V(x) V(x) 正定， V ˙ ( x ) \dot{V}(x) V˙(x) 也正定，故系统在平衡状态 x e = 0 x_e=0 xe​=0 是不稳定的。


8. 李亚普诺夫第二法的几点说明

1. 李亚普诺夫函数是一个标量函数；是一个正定函数；对于一个给定系统，李亚普诺夫函数不是唯一的。
2. 不仅对于线性系统，而且对于非线性系统，它都能给出关于大范围内稳定的信息。
3. 李亚普诺夫稳定性定理只是充分条件；对于一个特定系统，若不能找到一个合适的李亚普诺夫函数来判定系统的稳定性，则不能给出该系统稳定性的任何信息。
4. 李亚普诺夫稳定性理论没有提供构造李亚普诺夫函数的一般方法；李亚普诺夫函数最简单的形式是二次型函数。

From: 浙江大学2020公开课【现代控制理论】

x ˙ = A x + B u , x ( t 0 ) = x 0 \dot{x} = Ax + Bu,\quad x(t_0)=x_0 x˙=Ax+Bu,x(t0​)=x0​

是渐进稳定的，当且仅当对于任意给定的正定对称矩阵 Q Q Q，李亚普诺夫方程

A T P + P A = − Q A^TP + PA = -Q ATP+PA=−Q

有唯一正定对称解阵 P P P。

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今天遇到一个查询需求，数据库中有一列是字符串型的数据，但是其中包含的数字信息才是需要匹配查询的条件，如下图所示： 图中影视播放的时间存储方式是字符串，需求：查出播放时长大于130分钟的影视作品。1）MYSQL中，CAST函数CAST函数语法规则是：Cast(字段名 as 转换的类型 )，其中类型可以为： CHAR[(N)] 字符型 DATE 日期型 DATETIME 日期和时间型 DECIMA