胡说数学：小学生应该学等差数列吗？怎么学？
我最近几年一直在坚持自己的数学想法：“ 基于自然而然的教学理念，以胡说数学三板斧（画图，列表，设字母）为解决问题的工具，通过讲道理的方式去呈现对知识，概念，方法，思想的理解，并通过以上的方式提升数学思维与解决问题的能力！”
01说背景
我们都知道小学奥数里有一个让大家头疼又纠结的数学问题:等差数列！
当然这个问题是有争议的，有的老师认为这是高中的数学，不应该教，但是有人可能会反驳，那既然是高中的数学， 为什么小学，初中的数学会考这个问题呢？
一、学生的噩梦
等差数列在小学数学里面可能老师不会说像1,3，5,7，9……，这样的数列是等差数列，可能会说是数字规律，或者相邻两数差相等的数列，孩子们就已经明白了，然后以找规律的眼光引导孩子，并简单求第几个是几？或者几是第几个？或者这串数的和是多少？
所以，我个人的观点是：小学要给孩子 玩一玩等差数列 的，但是不能按照高中的方式去学习，要以 玩数字规律，形象直观 的方式，但又不能失去等差数列 本质的方法去学习 ，也就是换种孩子们能接受，和目前知识有关联的方式去学习，千万不要像大多数机构讲的那样，简直就是学生的噩梦。
比如：
大部分老师给孩子们总结的若干个新名词（比如，首项，末项，公差，项数等，这些词都可以用孩子们能懂的“第1个数，最后一个数，相邻两数差，几个数替换”）和又长又不好记忆又难理解的公式！
学生一个一个学还能所谓的套公式，混在一起彻底混乱，最终以死记硬背蒙混过关！比如，有一列数:2,5,8,11……,有学生求第10个数，他会怎么做呢？
首先孩子们会先想公式:末项=首项+（项数-1）×公差
然后找首项2，项数10 ，公差3
最后，套公式:2+3×（10－1）=29
这个的确快，但是需要孩子们的 大量的肌肉记忆，而不是理解型记忆！
二、老师的无奈
当然老师也说我也没办法啊，等差数列有的老师不愿意教，但是不得不教，一是自己做不了教学的主，二是要考试，不讲不行的。
有的老师虽然想讲，但是自己没有好的教学思路，符合孩子认知的方法，所以硬着头皮去按照别的老师或者教材或者网上的方法去讲，讲之前就知道自己讲不好或者只能让孩子死记硬背。
目前市面上关于小学的等差数列的讲法，大部分开场白是：
第一步，先认识等差数列， 什么首项，末项，项数，公差，这些新名称认识一下。
第二步，讲等差数列求和的问题 ，有的用数形结合，这个方式好理解，有的老师直接用倒序相加的方式，这也不难理解。奥，忘了，大部分老师都会讲小高斯的故事，说高斯是怎样秒杀：1+2+3+4+……+99=5050，这个数列的和的，我觉得没必要刚开始讲，你想让孩子学习什么？学习高斯上课不好好听，也能秒杀题吗？学习高斯秒杀题的神技能吗？你想让孩子自卑吗？
所以，故事可以等孩子学会之后，锦上添花，说大家和高斯一样了，都会这个问题了，这样有点意义，引导孩子去读一些高斯的传记，未来当数学家，还别说我教的学生里面还真有人想做数学家的。
第三步，求末项，求项数，求公差 ，这才是等差数列大部分老师讲的“鸡肋”的地方，没有遵循小学生的思维方式，按照初高中或者成年人的方式，想尽各种办法想让孩子最终记住公式，会套用公式：
末项=首项+（项数-1）×公差
项数=（末项-首项）÷公差+1
公差=（末项-首项）÷（项数-1）
当然，我认识的很多老师其实也会把上面的公式改编为孩子熟悉的话，比如：末项=首项+（项数-1）×公差→最后一个数=第一个数+（个数-1）×公差
还有的机构， 发明了“外星人的脸”， 说是形象，好玩，但是无形之间让孩子记住了更复杂的，更没道理的东西，但是很多老师竟然觉得好，争相模仿，还想让孩子崇拜。
其实，一样的不好记忆，这个公式，外星人的脸 等孩子真正记住了，估计孩子们仅存的一点理解也就淡忘了，也就是记的越多，理解越少，理解与记忆是学习的两个翅膀，但是一定要针对不同学科，不同知识有针对性与侧重点。
三、家长的疑惑
面对这样的问题，家长有什么疑惑？好家伙，这数学直接把孩子学废了，记那么多公式，当然如果家长听到老师说把这些公式背诵1000遍，默写500遍，你就记住了，呵呵，记住了，也就不会用了。
当然，也有家长会认为数学就是记公式啊，老师讲的挺清楚的，我之前就是这样学习等差数列啊，呵呵，家长不要忘了，你们那时候的数学和现在不一样的，而且数学不就是记公式，而是理解公式背后的数学关系与来源。
02 低年级学习
面对小学低年级，正儿八经学习等差数列，三四年级是可以学习，怎样学习相对是以形象直观与理解为主的方式呢？不妨把这些年我和我的学生的想法简单的给大家分享一下。
如果孩子们思维水平相对弱，逻辑思维比较差的情况下，我们可以从画点子图入手，说明一下，我们今天重点研究的是第几个数是几？与几是第几个？也就是位置与对应的数的关系的问题。
比如：1，3，5,7，9，……，
学生很容易能数出第10个数？第20个数？
不妨，画出来看一下：
大家仔细观察， 每一个数是怎么产生的？
可能有的学生会说：
我知道： 3是在1后面加2产生的，5是在3后面又加2，……
可能思维水平高一点的学生会说：
我观察到每一个数都是加了好几个2得到的,也就是在第一个位置对应的数1的后面加上若干个2得到的。比如第8个数是15，是这样得到的：
好的，我们不妨换种更直观的方式理解：
这种方式，相比之下，孩子们更容易直观的理解，也更容易提炼其中的等量关系，也就是每一个数都是 拆分成两部分 ：比如7拆成1和3个2（7=1+3×2），如果想要求更大的数，也是相同原理，比如让孩子求第100个数，我们不妨换一个数列，升级一下孩子们的思维。
比如：2,5,8，11,14…………
根据规律，求一下第100个数是多少？
画图分析：从第一个数开始画图，从小到大找递推规律。
根据上面规律，孩子们很容易回答出来， 第100个数是一个2加上99个3，也就是2+99×3=299.
不过在上课的过程中，有一个同学提出了不同的想法，我鼓励孩子说有创新，以后自己想到和别人不一样的方法也要大胆说出来。
这个孩子说我算的第100个数是： 3×100-1=299. 和他们列的式子不一样，但是结果的一样的。
我说怎么解释的呢？你的方法和其他小朋友的方法谁的能通用，也就是能搞定所有的这样的题目，就是好办法，怎么解释你的式子？
孩子虽然说的不太严谨，但是我总结一下，画出图形来解释，甚至清晰。
仔细观察会发现：
数列：2,5,8，11,……，299
孩子把每一个数都补了1，变成了：
数列：3,6，9,12,……，300
然后计算：2,5,8，11,……，这个数列的第100个数，就转化为计算：3,6，9,12,……，这个数列的第100个数100×3-1=299.
是不是孩子的想法很神奇，跳过了常规的标准的方法，那我们试试是不是所有等差数列都能先凑成整倍数的数列，然后多退少补（补偿法），这就好比我们想计算：456-298，我们先把298看成300，然后456-298=456-300+2，多减2，就补偿加2，道理相同。
299=2+3×99，相当于拆分，把299分成两类，2是单独一类，99个3一类；
299=3×100-1，相当于补偿法，把2看成3，就是100个3，再还原回去，减1.
举个例子，比如：
3,5,7,9，11…………
第100个数是几？
用补偿法凑倍：
把第一个数分成1和2，然后和后面的99个2凑成100个2，然后把少算的1加上，结果：1+2×100=201.
好了，这两个思考本质相同，但是如果反过来思考呢，刚才是给你了具体位置，比如第100个，让孩子们根据规律计算大小是多少？
现在反过来，给你大小是多少，你该怎么计算这个数在这串数中的第几个位置呢？
比如：2,5，8,11，14，……，302
求302是这列数的第几个数？或者说这列数从2数到302有几个数？
正过来思考我们已经搞定，反过来应该也没问题，不妨画图试试？
根据上面规律可以理解：302包含一个2，还有若干个3，想知道302是第几个数，我们先找到有几个3，每一个3都对应了一个数， （302-2）÷3=100个，然后2这个数刚才没说数，所以有100+1=101个数。
也可以凑成3的倍数这个思考计算：
通过观察给第一个2加上1，整体的结果就变成了302+1=303，每一个3对应一个数，所以303÷3=101个数，直接计算出结果。
以上思路，都是通性通法，学习数学不仅仅只是巧妙，特殊的方法，我们更多应该关注通性通法，培养孩子独立思考的能力。
请你观赏：等差数列视频
等差数列，小学生这样学？
https://www.zhihu.com/video/1408838466231185408
03 高年级学习
对于高年级的等差数列，孩子就需要把点图，方格图上升到序列与模式的方向，以不完全归纳（递推）的方式，让孩子的思维升级，在大脑中思考，扩充孩子大脑内存，更深更广的理解问题，解决问题。
比如：
数列：3,5，7,9,11……，这列数第n个数是多少？怎么表达？
对于高年级学生，学习过用字母表示数之后，我们结合等差数列进行代 数的训练与理解，这是非常好的素材。
建议序号与数之间的关联，才能轻松的转化为任何一个数的计算，而且真正做到少思考，也能搞定复杂的问题，学习代数的目的就是让我们更轻松解决一类问题的通法。
而且正好综合了我们低年级讲解的方法，方向一致，只是形式与认知升级了而已，孩子们会欣然接受的，当然的之前跟着我学习的孩子。
比如：数列：3,5，7,9,11……，（1）这列数中199是第几个数？
（2）数列中有301这个数吗？判断一下，解释说明？
第一个问题：这列数中199是第几个数？
解方程：3+2（n-1）=199 或者2n+1=199
可以知道，n=99，第99个数是199.
看到没有，升级后的思维水平，显然比低年级更快，更准确，也更能深刻理解，但是耗费的能量很小。
第二个问题：数列中有301这个数吗？判断一下，解释说明？
这个问题判断方式就多了:
判断一：代数
根据：2n+1这个通项公式，我们代入计算：
2n+1=301，计算结果：n=150
说明301在数列之中。
判断二：整除
根据低年级的方法，301-3=298,298能被2整除；说明301在数列之中。
判断三：被除数，除数，商，余数 根据除法意义，3,5，7,9，……这个数列每次增加2，可以裂解为301包含几个2，然后看余数。
301÷2=150……1，怎么理解，也可以理解为301÷2=149……3
301包含149个2，一个3，共150个数。
说明301在数列之中。
如果针对小升初的学生，我们不妨可以拓展一下：
观察下面这个图像，你知道描述的是什么样的数列吗（x≥1且是自然数）
当然，根据y=3X+2,或者图像都能计算或者数出来数列：
5,8，11,14,17…………
从线性的角度理解，我们会发现，凡是等差数列皆可以从图像或者函数关系中直接洞察。
比如： 小升初考试必考的题目 ：不妨来试试，每一个题目背后都隐藏着等差数列的关系，好好发现，从小到大找规律，列出来几个，找通用规律。
有问题可以加我微信，私聊（15003881703）
关于等差数列求和的问题，以后再分享，求和是最简单，孩子最容易明白的，先分享一张图片：
