Question

对于公式中的各个量的几何解释是什么？

予一人 数学话题下的优秀答主 · Accepted Answer

点 P(x_0,y_0) 到直线 Ax+By+C=0(A^2+B^2\neq 0) 的距离

d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.\\

为了简单地证明这个公式，我们利用向量法。在该直线上任取一点 R(x,y), 易得直线法向量为 \vec{n}=(A,B),~~\vec{PR}=(x-x_0,y-y_0). 所欲求的 d 不过是 \vec{PR} 在 \vec{n} 上的投影，于是就有

d=\frac{|\vec{PR}\cdot\vec{PQ}|}{|\vec{PQ}|}=\frac{|A(x-x_0)+B(y-y_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.\\