本文介绍了数学归纳法的基础，包括弱归纳和强归纳，通过示例区分了两者的应用。接着，文章详细阐述了双变量数学归纳法，解释了如何在二维结构中进行推理，并提供了斐波那契数列作为应用实例。
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双变量数学归纳法
博主在学习到双变量数学归纳法时候发现网上很难找到清晰明白的教程，就把自己学习和理解的一些知识和大家分享一下。博主不是数学专业，讲解也是从个人理解出发，如有错误还请各位批评指正。
本文从初高中学的数学归纳法（单变量弱归纳）开始，复习数学归纳法基本术语和步骤，然后过渡到强归纳法，用一个例子来说明强归纳和弱归纳的区别，然后再推进到两个变量甚至多变量的数学归纳法。基础较好的同学建议直接跳到双变量部分。
在讲双变量数学归纳之前，我们先来复习一下对于单变量的数学归纳法。
数学归纳法（Mathematical Induction, MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。
1
数学归纳法又可以分为
弱归纳法
（也叫普通数学归纳法，第一数学归纳法）和
强归纳法
（也叫第二数学归纳法）。他们的区别在于对归纳假设的不同：
弱归纳法假设：
n
≤
k
时的情况。对于需要递归证明的命题，或者牵扯到前面的情况的命题，往往只能用强归纳法证明而不能用弱归纳法证明。
例：对于任意大于等于2的正整数n，可以将n表示为若干个质数的乘积
证明：
-
归纳奠基：当
F
11
F
21
⋮
F
m
1
F
12
F
22
⋮
F
m
2
⋯
⋯
⋱
⋯
F
1
n
F
2
n
⋮
F
mn
证明思想1
：如果对于任意
F
n
+
m
+
1
=
F
n
F
m
+
F
n
+
1
F
m
+
1
提示：斐波那契数列每一项都依赖前两项，所以要用强归纳推理，或者用弱归纳推理但在base case和假设时候都要用连续两项。
证明如下
：
-
归纳奠基：
当
文章目录反转字符串双指针递归递归函数两两交换链表中的节点递归遍历杨辉三角递归实现遍历递归+滚动数组反转链表递归迭代斐波那契数递归遍历爬楼梯动态规划矩阵快速幂整数快速幂矩阵快速幂通项公式参考
递归是一种解决问题的有效方法，在递归过程中，函数将自身作为子例程调用
每当递归函数调用自身时，它都会将给定的问题拆解为子问题。递归调用继续进行，直到到子问题无需进一步递归就可以解决的地步。
为了确保递归函数不会导致无限循环，它应具有以下属性：
一个简单的基本案例（basic case）（或一些案例） —— 能够不使用递
一般地，证明一个与正整数\
(
n\
)
有关的命题，可按下列步骤进行：
(
1
)
归纳奠基：证明当\
(
n\
)
取
第一
个值\
(
n_0
(
n_0∈N^*
)
\
)
时命题成立；
(
2
)
归纳递推：假设当\
(
n＝k
(
k≥n_0，k∈N^*
)
\
)
时命题成立，推出当\
(
n=k+1\
)
时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从\
(
n_0\
)
开始的所有正整数\
(
n\
)
都成立．上述证明方法叫做
数学
归纳法
。
二、...
良序原理：算术基本定理的证明
第二
数学
归纳法
证明的结论
和
第一
数学
归纳法
是一样的，都是证明（局部）非负数元素都具有某些性质。但是
第二
数学
归纳法
中P
(
n
)
的推理是基于P
(
0~n
)
而非仅仅是P
(
n
)
。
第二
数学
归纳法
（
Strong
Induction），设P...
一般我们都是使用
第一
数学
归纳法
，但是对于
第二
数学
归纳法
，在
算法
导论中也是经常使用，比如22.4-2中证明
算法
正确性时会用到。
第二
数学
归纳法
原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：
（1）当n＝1时，命题成立；
（2）假设当n≤k时命题成立，由此可推得当n＝k+1时，命题也成立。
那么，命题对于一切自然数n来说都成立。
还有二元
数学
归纳法
：
在Young表的
算法
正确性证...
最简单
和
常见的
数学
归纳法
是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：
证明当 n= 1 时命题成立。
假设 n=m 时命题成立，那么可以推导出在 n=m+1 时命题也成立。（m代表任意自然数）
设 G=
(
V, E
)
为一个有向图或无向图，假定 BFS 以给定结点 s∈Vs\in V 作为源节点在图 G 上运行。则在 BFS 终结时，对于每个结点 v∈Vv\in V，BFS 计
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