学习到机器学习线性回归和逻辑回归时遇到了梯度下降算法，然后顺着扯出了一堆高数的相关概念理论：导数、偏导数、全微分、方向导数、梯度，重新回顾它们之间的一些关系，从网上和教材中摘录相关知识点。

这段是我的简单总结，如果看不懂没关系，先看下面的定义

1. 通过函数的极限定义出导数(以一元函数为例)
2. 函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0处可导
3. 扩展到多元函数时，衍生出偏导数

请参考马同学的这个回答： https://www.zhihu.com/question/26966355 ，他这篇文章还是较为适合有一定基础的人看的，我推荐先将我所有的内容看完再去看这篇文章才能get到一些点。

从上面这个公式可以看出z是一个二元函数，如果不加下面的2个条件，那么z是没有全导数的。但是如果加了下面2个条件，则z就存在全导数，这时称 z关于t的导数就是全导数。可以看出他本质上就是一个一元函数， 因此全导数只是针对真正的一元函数而言，也就是z中所有的变量x和y都可以用同一个t来表示。对于真正的多元函数是没有全导数这一说的，只有偏导数、偏微分和全微分。

我将全导数放在分割线前是由于全导数对t求导数时，它实际上就是一个一元函数，那么就应该被分到一元函数的区间内。

全导数和全微分是完全不同，全微分是针对多元函数的。

这里往上是 单变量（即一元函数） 的 导数和微分 ：

导数 本质是一种极限，实际场景中表示切线斜率；

微分 本质是“以值代曲，线性逼近”，让本来对曲线进行运算的操作，转化成对直线进行操作，简化了难度。

单变量（即一元函数）的导数和微分的 关系 ：

我认为这两个的出发点是不一样的，导数是为了求斜率，就是该点的瞬间变化情况；微分是为了将问题简化，用直线代替曲线，线性逼近，毕竟对直线（或线段）的研究是相对容易的，而曲线就相对较难。

单变量导数 <=> 单变量微分（即单变量导数和单变量微分互为 充分必要 ）。

---------------------------------------------------------这里是一道华丽的分割线--------------------------------------------------------

这里往下是 多变量 的 导数和微分 （涉及概念： 偏导数，偏微分，全微分，方向导数，梯度 ）：

偏导数 其实和导数一样，仅仅是进行了一个扩展，从原来的一元函数扩展到多元函数，这时就有了偏导数的概念。偏导数和导数一样都是表示切线的斜率。 偏导数只是针对变元（这里的变元是指多元函数中的某一元）的导数。 这时就需要引出一个方向导数了，我们用一个实例还说明为什么需要方向导数。比如一个二元函数，具体公式如下所示，

具体的形状如图所示：

其中A点可以有在xy平面内的（为啥是xy平面呢，我还没有找到一个合理的解释，让我再想想）任意方向的导数。其中有一个方向的导数是变化是最快的，那么这个方向就是梯度的方向，模长就是 梯度 大小。

偏微分和偏导数的出发点不同，偏导数是变化率，偏微分是某一变元的增量给z带来的变化，只不过在某一变元的增量特别小时，可以借用导数的计算方法，但并不是导数。

全微分是针对所有变元的增量给z带来的变化，是从偏微分拓展而来。

梯度是向量，微分是一个数值。

设u=u(x,y,z)，首先三维中梯度的定义是gradu=iðu/ðx+jðu/ðy+kðu/ðz，它是一个向量，而全微分du=(ðu/ðx)dx+(ðu/ðy)dy+(ðu/ðz)dz，是用坐标的微小增量dx、dy、dz表示函数u的增量，是一个表达式，和矢量无关，也和切线无关。

下面来说明梯度为什么和切向量（一维切向量就是切线，二维切向量就是切平面）垂直，设曲线x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)是曲面u(x,y,z)=c上的一条曲线（c为常数，u(x,y,z)=c表示等值面），由于该曲线在曲面上，所以x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)满足方程u(x,y,z)=c，即u(x(t),y(t),z(t))=c，利用复合函数求导法则，方程两边同时对t求导数，得 (ðu/ðx)*x‘(t)+(ðu/ðy)*y‘(t)+(ðu/ðz)*z‘(t)=0，所以向量(x'(t),y'(t),z'(t))与向量(ðu/ðx,ðu/ðy,ðu/ðz)垂直。而向量(x'(t),y'(t),z'(t))表示曲线的切向量，向量(ðu/ðx,ðu/ðy,ðu/ðz)表示梯度，所以梯度和切向量垂直。函数u在一点的梯度是一个向量，它的方向是函数u在该点方向导数取得最大值时的方向，它的模等于方向导数的最大值。

全微分与偏导数、偏微分的关系

• 全微分存在偏导数、偏微分一定存在
• 偏导数、偏微分存在全微分不一定存在

https://www.zhihu.com/question/26966355

https://blog.csdn.net/fffupeng/article/details/73522425

https://blog.csdn.net/qq_41455420/article/details/79661885?utm_source=blogxgwz2

https://blog.csdn.net/czmacd/article/details/81178650

https://blog.csdn.net/u013066730/article/details/83151829

导数的理解： https://www.zhihu.com/question/28684811