相关系数

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研究变量之间线性相关程度的量

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相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标，是研究变量之间线性相关程度的量，一般用字母 r 表示。由于研究对象的不同，相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔逊相关系数。

相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。

需要说明的是，皮尔逊相关系数并不是唯一的相关系数，但是最常见的相关系数，以下解释都是针对皮尔逊相关系数。

依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。

中文名: 相关系数
外文名: Correlation coefficient
基本释义: 度量两个变量间的线性关系

常用: 皮尔逊相关系数
描述: 线性关系
特点: 无量纲

定义

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相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式。

简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数，一般用字母r表示，用来度量两个变量间的线性关系。

定义式 ^[1]

其中，Cov(X,Y)为X与Y的协方差，Var[X]为X的方差，Var[Y]为Y的方差

复相关系数：又叫多重相关系数。复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。例如，某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。

典型相关系数：是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。

性质

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这里，

，

是一个可以表征

和

之间线性关系紧密程度的量。它具有两个性质：

（1）

（2）

的充要条件是，存在常数a，b，使得

由性质衍生：

a. 相关系数定量地刻画了 X 和 Y的相关程度，即

越大，相关程度越大；

对应相关程度最低；

b. X 和Y 完全相关的含义是在概率为1的意义下存在线性关系，于是

是一个可以表征X 和Y 之间线性关系紧密程度的量。当

较大时，通常说X 和Y相关程度较好；当

较小时，通常说X和Y相关程度较差；当X和Y不相关，通常认为X和Y之间不存在线性关系，但并不能排除X和Y之间可能存在其他关系。 ^[2]

不相关和独立

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若X和Y不相关，

，通常认为X和Y之间不存在线性关系，但并不能排除X和Y之间可能存在其他关系；若

，则X和Y不相关。

若X和Y独立，则必有

，因而X和Y不相关；若X和Y不相关，则仅仅是不存在线性关系，可能存在其他关系，如

，X和Y不独立。

因此，“不相关”是一个比“独立”要弱的概念。 ^[2]

生活示例

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软件公司在全国有许多代理商，为研究它的财务软件产品的广告投入与销售额的关系，统计人员随机选择10家代理商进行观察，搜集到年广告投入费和月平均销售额的数据，并编制成相关表，见表1：

表1　广告费与月平均销售额相关表　单位：万元
年广告费投入	12.5	15.3	23.2	26.4	33.5	34.4	39.4	45.2	55.4	60.9
月均销售额	21.2	23.9	32.9	34.1	42.5	43.2	49.0	52.8	59.4	63.5

参照表1，可计算相关系数如表2：

序号	广告投入(万元) x	月均销售额(万元) y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	12.5 15.3 23.2 26.4 33.5 34.4 39.4 45.2 55.4 60.9	21.2 23.9 32.9 34.1 42.5 43.2 49.0 52.8 59.4 63.5	156.25 234.09 538.24 696.96 1122.25 1183.36 1552.36 2043.04 3069.16 3708.81	449.44 571.21 1082.41 1162.81 1806.25 1866.24 2401.00 2787.84 3528.36 4032.25	265.00 365.67 763.28 900.24 1423.75 1486.08 1930.60 2386.56 3290.76 3867.15
合计	346.2	422.5	14304.52	19687.81	16679.09