|
|
求解全微分的意义？最好感性一点的认识
在我看来，全微分是针对不规则图形像曲面和曲线上一点对于原点的方向的度量，对吗？还有什么其他的意义，好理解一点的
关注者
722
被浏览
464,277
35 个回答
一元函数微分很容易理解，直观，但是推广到多维后，尽管教科书给出了严格定义，但总觉得中间有道坎，想不明白。本文用图形帮助大家直观理解全微分。
- 一元可微函数：
如果一元函数可微，则 利用直线代替曲线估计函数值的变化 ，得到，
2.那么推广到n元函数是否能得到形式一致的公式呢？
全微分形式：
几何解释：
一元函数用直线代替曲线，则n元函数用平面代替曲面，这个平面称为切平面。
为了方便，举例二元函数z=f(x,y)，
曲面上一点A，经过此点分别做平行于xoz和yoz的平面，与空间平面相交得到两条空间曲线，
两条空间曲线分别做切线，u的斜率（y不变）即x偏导，v的斜率（x不变）即y偏导。
斜率的具体所示，请看下面的示意图：
经过两条切线的平面即为切平面，
全微分的精髓就是利用切平面去代替A点附近的曲面 ，如此一来，
示意图：
目前还有一个问题， 切平面是通过两条特殊的切线得到的，那么是否经过此点的任意切线都在切平面内呢？答案是肯定的！
比如任意增加一个平行于z轴的平面，做相交曲线的切线，仍在切平面内：
从图中看到xoy平面内的三个方向得到的三个切线（方向导数）在同一个平面内。
证明：
可以这样理解，xoy平面内过(x0,y0)的任意直线经过线性变换肯定仍在一个平面内（线性变换的性质） 。下面图帮助理解：
3.结论
- 全微分是用切平面代替曲面
- 全微分要求所有方向的切线均存在且均在一个平面内，因此有函数偏导存在，但是不存在全微分的情况。
微积分这门学科，从字面上拆开来看，就是“微分”+“积分”。按道理把这个两个概念作为学科的名字，很显然是非常重要，但是我觉得很奇怪，《高等数学》同济版并不怎么讲“微分”这个概念，而是着重在讲解“微分”的一个性质“导数”，可能教材的目的是为了做题和考试吧。当然也有可能我下面讲的内容是微分几何的内容，如果要去严格化讲解的话需要引入更多概念。
在我看来，“微分”这个概念恰恰是理解微积分的关键，最好的表达了微积分这门学科的基本思想： “以直代曲，线性逼近”。
1 一元函数中的微分
一元函数中 y 的微分为：
《高等数学》的书上是这么解释的：
我们换一个视角：
“以直代曲”从字面上看的意思就是说，“直”可以替代“曲”，那么微分在什么时候可以取代曲线呢？
其实例子很多，比如说洛必达法则、泰勒公式、积分基本定理、牛顿迭代法，这些你要仔细去看，都会发现通过“以直代曲”去理解会多么的简单、直观。不过这些我都已经写过相关的回答了，我下面给出另外一个挺有趣的例子：
当我们无限增加切线的时候，我们就需要用无限的加法，这就是积分（ \int 这个符号本身就是源于把英文Sum的首字母拉长）：
\int dy=y+C
这是最基本的不定积分，我们可以把这个式子解读为，把所有的 dy 即微分加起来就得到了曲线。这就是“以直代曲”。
为什么有一个常数 C 呢？
为什么要“以直代曲”？我觉得答案很显然，因为直线研究起来更简单啊。
关于微分，还可以参考下我之前的回答： 为什么要定义微分 ?
2 全微分
之前我回答过一个问题， 无法理解高等数学怎么办？ 我在回答里面就说过学习应该循序渐进，意思就是，应该从已有的知识出发，保持足够小的步伐前进。
让我们把已有的知识称作 i ，足够小的步伐称为 +1 ，那么：
才是最有效的学习方法。
那么要理解全微分是什么，就让我们从一元微分出发。
我们来看看一元微分给了我们什么启示：
- 微分得是“直”的（这样才能“代曲”），一元是直线，二元只能是平面
- 微分和切线有关，一元微分就是切线，二元的情况要复杂一些
关于二元的切线，我们先要理解一点，在三维曲面上的点有无数条切线：
有了这些信息之后，我们就能很轻松的把一元微分推广到二元微分上去。
二元微分就是所有的切线都存在，并且都在一个平面。如果这样一个平面存在的话，它就是二元的微分，我们也叫它为“切平面”。这个微分可以提供对曲面很好的“线性近似”。
所有切线共面我觉得还挺神奇的，蛮难想象的。下面有个互动操作帮助你认识这个“全微分”，有条件最好在pc上观看，手机好像有点卡：
此处有互动内容， 点击此处前往操作。
至于为什么所有的切线都会在切平面上，我会另文作答。
明白二元微分之后，我们就可以继续 i+1 下去，把二元微积分推广出来。
3 结语
“以直代曲，线性逼近”是整个微积分的精髓，深刻地理解了这八字真言，就会发现微积分一切都很自然了。
欢迎加入 马同学图解数学 系列课程