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在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是
区间
，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
引例
播报
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图示
定义
播报
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设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧，f(x，y)在L上有界，在L上任意插入一点列
把L 分成 n个小弧段
的长度为ds，又
是L上的任一点，作乘积
，并求和即
，记λ=max(ds) ，若
的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及
在L的取法无关，则称极限值为f(x，y)在L上对弧长的曲线积分，记为：
；其中f(x，y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。
（上述定义并不完全严谨，给出新的定义）：在矢量场A中，任取一连接点P0与P1的光滑曲线c，此时向量OP0记作R0，向量OP1记作R1，用
ΔR
表示位于曲线C的切线上，以切点为始点而模
（其中ΔR为粗体）等于弧元ΔR的小矢量，作标积
，A是ΔR始点的矢量，
是A在弧的切线
上的投影。将所有弧元ΔR的标积相加，并使弧元数量无限制增加且使得每一弧元长度趋向于0，求U的极限，所以
。称U为矢量A沿曲线c的曲线积分。
分类
播报
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曲线积分分为：
两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号
[1]
。
相关概念
播报
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积分联系
在曲线积分中，被积的函数可以是
标量
函数或
向量函数
。积分的值是路径各点上的
函数值
乘上相应的
权重
（一般是
弧长
，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线
微元
向量的
标量积
）后的
黎曼和
。带有权重是曲线积分与一般
区间
上的积分的主要不同点。物理学中的许多简单的公式（比如说）在推广之后都是以曲线积分的形式出现（
）。曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算
电场
或
重力场
中的
做功
，或
量子力学
中计算粒子出现的
概率
。
量子力学
量子力学
中的“
曲线积分形式
”和曲线积分并不相同，因为曲线积分形式中所用的积分是
函数空间
上的
泛函积分
，即关于空间中每个路径的
概率
函数进行积分。然而，曲线积分在量子力学中仍有重要作用，比如说复围道积分常常用来计算
量子散射
理论中的
概率振幅
。
复分关系
如果将
复数
看作
二维
的向量，那么二维
向量场
的曲线积分就是相应复函数的
共轭函数
在同样路径上的积分值的
实部
。根据
柯西-黎曼方程
，一个
全纯函数
的共轭函数所对应的向量场的
旋度
是0。
