曲线积分（Line Integral）

1.曲线积分

1.1 曲线积分的意义

曲线积分可用于求物体沿路径运动时所做的功，以及求密度变化的导线的质量
曲线积分不再是以往在某个区间内进行积分，而是在特定曲线上进行积分，即积分区域变为了一条曲线

截图来源于： Introduction to the line integral | Multivariable Calculus | Khan Academy

1.2 第一类曲线积分的计算（对弧长的曲线积分）

第一类曲线积分主要用于求解曲线质量
二维曲线积分
$积分得到此空间曲线的质量$

利用曲线积分具有的对称性来简化计算
下图改编自小元老师

下图改编自小元老师

下图改编自小元老师
轮换对称性，即 x 换为 y，y 换为 x 后被积函数一致

1.2.1 曲线积分转为定积分

方法一：曲线积分转为定积分
我们一般通过将弧长微元 ds 用 x,y 或参数 t 表示出来，由此将曲线积分转变为定积分来计算
二维曲线
曲线由参数方程定义

例题：

Curve\,C：x=cos(t)，y=sin(t)，0\leq t \leq \frac{\pi}{2}（图中黑线）\\ ~\\ f(x,y)=xy（图中红色曲面）\\ ~\\ \int_Cf(x,y)ds=\int_Cxyds（图中黄色线圈住的部分的面积，面积大小可理解为粒子沿黑色曲线做的功的大小）\\ ~\\ ds=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt ~\\ ~\\ \int_{t=0}^{t=\pi/2}xy\sqrt{(cos'(t))^2+(sin'(t))^2}dt=\int_{t=0}^{t=\pi/2}cos(t)sin(t) dt

三维曲线
曲线由参数方程定义

下例来自：重积分、曲线积分、曲面积分【合集】【小元老师】

1.2.2 使用格林公式将闭合曲线积分转为二重积分

方法二：对于正向闭合曲线使用格林公式
详见本人博客：格林公式(Green‘s Formula)
推荐文章： kaysen学长：格林公式史上最通俗最透彻讲解

1.2.3 与路径无关的曲线积分的充要条件

笔记来自：格林公式【小元老师】

方法三：使用与路径无关的曲线积分的充要条件
起点相同，终点相同，则中间无论路径是什么，最终的曲线积分结果都相同

G为单连通区域

$\oint\limits_{L_1-L_2}Pdx+Qdy=\iint\limits_{D}\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy=0\\ ~\\ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

1.2.4 使用斯托克斯公式

方法四：使用斯托克斯公式
详见本人博客：斯托克斯定理

1.3 第二类曲线积分的计算（对坐标的曲线积分）

详见本人博客：向量场中的曲线积分、环量、通量
笔记来自：重积分、曲线积分、曲面积分【合集】【小元老师】

第二类曲线积分主要用于求解变力沿曲线做的功（研究环流量）

向量值函数F

W=\int_L\bold{F}(x,y)\cdot d\bold{r}\\ ~\\ \bold{F}(x,y)=P(x,y)\bold{i}+Q(x,y)\bold{j}\\ ~\\ \bold{r}=dx\bold{i}+dy\bold{j}

\int_LP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=\int_L[P(x,y,z)\cos\alpha+Q(x,y,z)\cos\beta+R(x,y,z)\cos\gamma ]ds

下例来自：重积分、曲线积分、曲面积分【合集】【小元老师】

1.曲线积分

1.1 曲线积分的意义

1.2 第一类曲线积分的计算（对弧长的曲线积分）

1.2.1 曲线积分转为定积分

1.2.2 使用格林公式将闭合曲线积分转为二重积分

1.2.3 与路径无关的曲线积分的充要条件

1.2.4 使用斯托克斯公式

1.3 第二类曲线积分的计算（对坐标的曲线积分）

1.4 第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系

1.5 第一类曲线积分和第二类曲线积分的几何解释

1.6 曲线积分注意事项

1.2.1 第一类曲线积分注意事项

1.2.2 第二类曲线积分注意事项