复几何的前景如何？

复几何太大了，每个方向的前景都不一样，像Siu这样纯粹做复几何的数学家并不多，大多数人的工作都转到和度量相关的问题了，这些基本上是在复数域上使用几何分析的方法。最传统的复几何是要研究函数论问题和复结构的，比如最传统的Mittag-Leffler问题和Weierstrass问题，推广到高维复流形上以后就导致了coherent analytic sheaf的研究，这上面有有很多vanishing和non-vanishing的结果，比如Andreotti-Grauert理论，或者众所周知的，最古老的Cartan's theorem A and B。最经典，最正统的复几何就是研究复流形上的函数论。这方面你学到的第一个非平凡的结果大概是Hartogs定理，这个定理不仅在复数域上有用，还有对于交换环的推广版本，在代数几何上也经常用到。

就是因为函数论，coherent sheaf这个概念才变得重要。而从Kodaira-Spencer时期开始，把包括函数论在内的几何问题转化为关于sheaf的问题就是复几何的研究方式。在比较现代的理论里面，multiplier ideal sheaf起到很重要的作用，而这个概念最早是Nadel在研究Fano manifold上的KE metric的存在性时引入的： Multiplier Ideal Sheaves and Kahler-Einstein Metrics of Positive Scalar Curvature 。后来的发展表明，multiplier ideal sheaf在复代数几何上起到很重要的作用。比如Siu用它证明了finite generation of canonical ring。

另一个很本质的概念就是复结构，这是复几何最基本的概念。Siu证明了 \mathbb{CP}^n 上的复结构不能deform，以及 \mathbb{CP}^2 上的复结构唯一，这个方向后来被他的学生Mok和Hwang发扬光大，推广到quadric hypersurface和flag variety上。这些uniformization的结果其实也可以看做对Riemann surface上的相应结果的推广。当然，在高维，另一种有效的做uniformization的方法是假设KE度量的存在性。Mok和Hwang在他们的工作里引入的一个本质概念是variety of minimal rational tangents (VMRT)。这方面又有很多进展，比如Hwang用它证明了Beauville的猜想：projective holomorphic symplectic manifold上假如存在Lagrangian fibration，那么base manifold一定biholomorphic to \mathbb{CP}^n 。

和函数论有关的另一个方向是值分布，这个我比较熟悉。通俗地说，就是要寻找Schwarz lemma的高维推广，从而理解holomorphic map的degeneracy和负曲率的联系。或者说，这就是复流形版本的hyperbolic geometry。这时对度量的研究不是本质的，因为想要证明Nevanlinna的两个定理的高维推广只需要构造负曲率的度量，比如复Ricci曲率。但是有时候你可以perturb度量得到KE度量。这个方向和数论上的Diophantine逼近有关，这方面有非常漂亮的联系和猜想，但是人们却并不知道这些联系背后的原因。3月份的时候我在看Vojta写的LNM 1239，但是后来出车祸了，就没那个精力了。这方面最重要的猜想来自Serge Lang，是说代数簇 V over任何number field \Bbbk 的rational points V(\Bbbk) 是有限的，当且仅当 V over \mathbb{C} 是Kobayashi hyperbolic的。我以前写过关于Kobayashi hyperbolicity的科普，现在找不到了。

所以不是说传统的复几何就被淘汰了，大家都用PDE了，只是说太多问题人们不会做，所以有些人望而生畏。并不是说PDE就是数学的主流，只是现在这个方向比较容易写文章，做的人就多。毫无疑问，Siu做的数学在几何学家里面难度是很高的，甚至可以说是最难的，这才是正统的复几何问题。

Hodge猜想属于代数几何，不是复几何，因为很明显你需要依靠一些代数的方法去做它，你需要懂Hodge理论里面一些比较深入的内容，用分析是不够的。Hodge理论也并不是像初学者想象的那样只要捣鼓几个Laplace算子。目前Hodge猜想上几乎没有任何进展，本世纪获得解决有一定难度。Cubic 4-fold的rationality问题都不知道什么时候能解决。

复几何上还有一个重要人物是Demailly，据说这是个天才，不仅在数学上，可以说是屌爆了。他发展的holomorphic Morse theory也有很多重要进展，比如在Green-Griffiths猜想上，比如numerical characterization of Kahler cone。这个方向也值得关注。

复结构不仅可以做uniformization，还可以考虑deformation，即最早由Kodaira和Spencer发展的理论。初期这个理论只适用到了基本的复几何知识和sheaf cohomology，但是这个研究是非常奠基性的。和代数几何的想法结合后，你可以考虑deformation of algebra和deformation of category，可以考虑moduli space，由此衍生出obstruction theory，可以考虑deformation of bundle，甚至Higgs bundle。总之，现在的deformation theory基本是纯代数和代数几何的研究范围，和复几何没什么关系了。

还有一个没有提及的方向是holomorphic vector bundle的研究，即使在projective space上，这个问题也很不清楚，比如Hartshorne猜想。但是人们现在更倾向于去研究bundle的模空间，这从Atiyah-Bott那时候就开始了，后来就有Donaldson和Hitchin的工作，再后来代数几何学家意识到应该研究coherent sheaf和stability condition，这个方向慢慢地就变成代数几何和gauge theory相关了，很少有人从复几何角度来研究这些问题。但是Siu在15年用复几何方法证明了在 \mathbb{CP}^n , n\geq 6 上，任何unstable holomorphic rank 2 bundle都split： https:// arxiv.org/pdf/1505.0210 3.pdf 。

我已经很多年不碰复几何了。现在唯一还有兴趣的地方就是Vojta的理论，因为我知道我做分析是做不过别人的，我也不认为纯粹用分析的工作有趣。还是要有个开阔的眼界，才能知道自己能干些什么。不要总是执着于有什么open problem，任何一个open problem就必须是学了很多样工具以后才能去考虑的，所以第一步是开阔眼界，充实武器库。