算子代数VI：交换von Neumann代数的结构

书接上文。

这一次我们主要讨论交换von Neumann代数的结构。我们将会证明任何含有循环向量的交换von Neumann代数都会同构于某个 L_\infty(X,\mu) ，这里 X 是一个紧拓扑空间而 \mu 是一个有限测度。其中循环向量的要求保证了构造的同构是一个空间同构(spatially isomorphism)。即使交换von Neumann代数不包含循环向量，如果它可以嵌入到某个 \mathcal{B}(H) 中，这里 H 是一个可分Hilbert空间，它仍然同构于某个某个 L_\infty(X,\mu) ，其中 X 是一个紧拓扑空间而 \mu 是一个有限测度，但此时给出的同构未必是空间同构。

另一件有趣的事情是对交换von Neumann代数 \mathcal{A} ，通过其结构定理可以得到它极大理想空间上的拓扑使得任何开集的闭包是它自身，也即它是extremally disconnected的，并且作为极大理想空间它本身还是Hausdorff的。这是Stonean空间的一个典型例子。

作为准备工作（从另一种角度来说，也可以作为推论），我们从投影出发构造谱测度和谱积分。这里的想法是自然的，既然 C(X) 的表示可以将 1 映到恒等算子 \mathrm{id}_H ，而其对偶同构于某个复Borel测度，那么它的表示能否对应一个所谓的"算子值测度"使得算子也可以写成积分的形式？谱测度和谱积分构造完毕之后我们可以讨论有界Borel函数演算，这源于von Neumann代数上有足够多的投影可以让我们挥霍。

而作为一个有趣的应用，我们得以在酉等价的意义下分类正规算子。分类正规算子本身不是什么新鲜的事情，有限维的情形无非是线性代数这门课程的主线内容。我们已经知道两个正规矩阵酉等价当且仅当它们计重数的特征值是相等的，而谱测度对应了有限维情形下的特征值，唯一需要做的就是确定重数在无限维情形下的对应。

下一次我们介绍两个重要定理，Weyl-von Neumann-Berg定理和Voiculescu定理。至此关于传统意义上算子代数的基础内容讨论完毕，接下来会从这里转向 C^* 代数的K-理论。