如何通俗的理解伽马(gamma)函数

jinzhao

如何通俗的理解伽马(gamma)函数 - 直觉，求导和示例

我为什么要在乎garmma分布？

使用伽马函数定义了许多概率分布，例如伽马分布，Beta分布，狄利克雷分布，卡方分布和学生t分布等。对于数据科学家，机器学习工程师，研究人员来说，伽马函数可能是一种最广泛使用的函数，因为它已在许多分布中使用。然后将这些分布用于贝叶斯推理，随机过程（例如排队模型），生成统计模型（例如潜在狄利克雷分配）和变分推理。因此，如果您很好地了解了Garmma函数，您将对其中出现的许多应用程序有更好的了解！

1.为什么需要伽玛函数？

因为我们要泛化阶乘！

阶乘函数仅针对离散点（对于正整数-上图中的黑点）定义，但是我们希望连接黑点。我们想将阶乘函数扩展到所有复数。阶乘的简单公式x！= 1 * 2 … x，不能直接用于小数值，因为它仅在x是整数时才有效。因此，数学家一直在寻找...

“什么样的function将这些点平滑地连接起来，并为我们提供所有实际值的阶乘?”

但是，他们找不到可以表示x的和，乘积，幂，指数或对数的* 有限*组合！直到…的实数.

2.欧拉发现了伽玛函数。（在18世纪）

上面的公式用于找到z的任何实数值的Gamma函数的值。假设您要计算Γ（4.8）。您将如何解决上述整合？可以手动计算Γ（4.8）吗？也许使用零件积分？

试试看，让我知道您是否找到有趣的方式！对于我（以及到目前为止的许多其他人）而言，没有快速简便的方法手动评估分数的Gamma函数。（如果您有兴趣用手解决它，这是一个很好的起点。）好吧，那么就不用分析了。您能否实现从0到无穷大的积分-以编程方式添加术语“无限次”？

您可以通过几种方法来实现。最常用的两种实现是斯特林近似和Lanczos近似。

[For implementation addicts:] For implementation addicts: the codes of Gamma function (mostly Lanczos approximation) in 60+ different language - C, C++, C#, python, java, etc.

让我们计算Γ（4.8）使用计算机在已经实现的。

我们得到了17.837。正如我们所期望的，17.837介于3！（=Γ（4）= 6）和4！（=Γ（5）= 24）之间。（当z是自然数时，Γ（z）=（z-1）！我们将很快证明这一点。）与只需要正整数的阶乘不同，我们可以将任何实数/复数输入z，包括负数。Gamma函数连接黑点，并很好地绘制曲线。

Confusion-buster: 我们正在积分从0到无穷大的x（NOT z）。 • x是正在集成的辅助变量。 • 我们没有将4.8插入x。我们将4.8插入z。

3. Gamma函数如何对阶乘函数进行插值？

如果看一下Gamma函数，您会注意到两件事。首先，相对于z，它绝对是一个递增函数。其次，当z是自然数时，Γ（z + 1）= z！（我保证我们会尽快证明这一点！）因此，我们可以期望Gamma函数连接阶乘。

Gamma函数如何以当前项x ^ z和e ^ -x结束？我不确切知道欧拉的思维过程是什么，但是他是发现自然数e的那个人，因此他必须做很多实验，将e与其他函数相乘才能找到当前形式。

4. Gamma函数的图形是什么样的？

当x变为无穷大∞时，第一项（x ^ z）也变为无穷大∞，但是第二项（e ^ -x）变为零。

然后，伽玛函数会收敛到有限值吗？

我们可以使用L'Hôpital规则严格证明它收敛。但是我们也可以毫不费力地看到它的融合。如果您考虑一下，我们正在积分x ^ z（一个多项式递增函数）和e ^ -x（一个指数递减函数）的乘积。因为e ^ -x的值下降快于x ^ z的值，所以Gamma函数很可能收敛并具有有限的值。让我们绘制每个图形，因为眼见为实。

x ^ z * e ^ -x的图让我们看一下Γ（4.8）的情况。

图下绿色阴影区域从0到无穷大，Γ（4.8）= 3.8！ Python代码用于生成上面的漂亮图。自己绘制，看看z如何改变Gamma函数的形状！

########################
# f(x) = exp(-x) graph #
########################
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Create x and y
x = np.linspace(-2, 20, 100)
y = np.exp(-x)
# Create the plot
fig, ax = plt.subplots()
plt.plot(x, y, label='f(x) = exp(-x)', linewidth=3, color='palegreen')
# Make the x=0, y=0 thicker
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True, which='both')
ax.axhline(y=0, color='k')
ax.axvline(x=0, color='k')
# Add a title
plt.title('f(x) = exp(-x)', fontsize=20)
# Add X and y Label
plt.xlabel('x', fontsize=16)
plt.ylabel('f(x)', fontsize=16)
# Add a grid
plt.grid(alpha=.4, linestyle='--')
# Show the plot
plt.show()
####################
# f(x) = x^z graph #
####################
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Create x and y
x = np.linspace(0, 2, 100)
y1 = x**1.3
y2 = x**2.5 
y3 = x**3.8
# Create the plot
fig, ax = plt.subplots()
plt.plot(x, y1, label='f(x) = x^1.3', linewidth=3, color='palegreen')
plt.plot(x, y2, label='f(x) = x^2.5', linewidth=3, color='yellowgreen')
plt.plot(x, y3, label='f(x) = x^3.8', linewidth=3, color='olivedrab')
# Make the x=0, y=0 thicker
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True, which='both')
ax.axhline(y=0, color='k')
ax.axvline(x=0, color='k')
# Add a title
plt.title('f(x) = x^z', fontsize=20)
# Add X and y Label
plt.xlabel('x', fontsize=16)
plt.ylabel('f(x)', fontsize=16)
# Add a grid
plt.grid(alpha=.4, linestyle='--')
# Add a Legend
plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1), loc='best', borderaxespad=1, fontsize=12)
# Show the plot
plt.show()
###############################
# f(x) = x^(3.8)*e^(-x) graph #
###############################
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Create x and y
x = np.linspace(0, 20, 100)
y = x**3.8 * np.exp(-x)
# Create the plot
fig, ax = plt.subplots()
plt.plot(x, y, label='f(x) = x^(3.8) * np.exp(-x)', linewidth=3, color='palegreen')
ax.fill_between(x, 0, y, color='yellowgreen')
# Make the x=0, y=0 thicker
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True, which='both')
ax.axhline(y=0, color='k')
ax.axvline(x=0, color='k')
# Add a title
plt.title('f(x) =  x^(3.8)*e^(-x) ', fontsize=20)
# Add X and y Label
plt.xlabel('x', fontsize=16)
plt.ylabel('f(x)' ,fontsize=16)