思路3：用相似证明三边相等
证明：如图1，分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长，向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'），设这三个三角形的中心分别为D，E，F，
则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°
以点A为圆心，以AF长为半径作弧；以点E为圆心，以DC长为半径作弧。设两弧在
多边形
AFBDCE内交于点G。则AG=AF，GE=DC。
连接GF、GA、GE，DE、DF、EF。
∵△ABF、△BCD、△ACE都是
底角
为30°的
等腰三角形
（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）
∴△ABF∽△BCD∽△ACE，
图1 拿破仑三角形证明方法三
∴AF/AB = AE/AC = DC/BC 又∵AG=AF，GE=DC
∴AG/AB = AE/AC = GE/BC
∴△AGE∽△ABC
∴∠GAE=∠BAC
∴∠FAG = ∠
EAF
-∠
GAE
= ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°
又∵AG=AF
∴△AGF为等边三角形
∴AG=AF，∠AGF=60° ∵△AGE∽△ABC
∴∠AGE=∠ABC
又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°
∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°
∴∠FBD=∠FGE
∵在△FBD和△FGE中，
FB=FG，∠FBD=∠FGE，BD=GE
∴△FBD≌△FGE(SAS)
∴FD=FE
同理，FD=DE
∵FD=DE=FE
