实变函数自制笔记8：初识勒贝格积分原创

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1、勒贝格（Lebesgue）积分：

背景：勒贝格积分是在勒贝格测度论的基础上建立起来的，这一理论可以统一处理函数有界、无界的情形，且函数也可以定义在更一般的点集（不一定是 $\left [ a,b \right ]$ ）上；特别的是它提供了比黎曼积分更加广泛有效的收敛定理；定义勒贝格积分的方法很多，这里先给出通过简单函数来定义的思路；
勒贝格积分的定义：

通过简单函数定义勒贝格积分：根据笔记6里的简单函数逼近定理，对于 $E$ 上任一非负可测函数 $f\left ( x \right )$ ，可以找到一列单调递增的简单函数 $\varphi _n\left ( x \right )$ ，使得 $\varphi _n\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right )\left ( n\rightarrow \infty \right )$ ；而对于每个简单函数 $\varphi _n$ ，其在点集 $E_{i}^{\left ( n \right )}\left ( i=1,2,\cdots ,N_n \right )\left ( \bigcup_{i=1}^{N_n}E_{i}^{\left ( n \right )}=E \right )$ 上取值 $C_{i}^{\left ( n \right )}\left ( x\in E_{i} \right )$ （注：这里的 $\left ( n \right )$ 指的是，在 $i$ 值相同 $n$ 值不同 $\left (n_1\neq n_2 \right )$ 的情况下， $\varphi _{n_1},\varphi _{n_2}$ 各自对应的 $C_{i}^{\left ( n_1 \right )},C_{i}^{\left ( n_2 \right )}$ 之间并不相同），则有简单函数 $\varphi _n\left ( x \right )=\sum_{i=1}^{N_n}C_{i}^{\left ( n \right )} \chi _{E_{i}^{\left ( n \right )}}\left ( x \right )=C_{i}^{\left ( n \right )}\left ( x\in E_{i}^{\left ( n \right )} \right )$ ，其中 $\chi _{E_{i}^{\left ( n \right )}}\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} 1, & x\in E_{i}^{\left ( n \right )}\\ 0, & x\notin E_{i}^{\left ( n \right )} \end{matrix}\right.$ 指的是特征函数；由此便可得出简单函数 $\varphi _n$ 的积分为 $\sum_{i=1}^{N_n}C_{i}^{\left ( n \right )} m\left ( E_{i}^{\left ( n \right )} \right )$ ，若此和式极限存在，则可定义该极限为 $f\left ( x \right )$ 的积分；
通过分割值域定义勒贝格积分：已知在可测集 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上有界可测函数 $f\left ( x \right )$ ，根据 $f\left ( x \right )$ 的值域随机的划分区域，区域的边界对应的 $f\left ( x_i \right )$ 值定义为 $l_i$ ，由此可以得出递增序列 $\left \{ l_i \right \}\left ( l_i< l_{i+1} \right )$ ，并令 $E_i=\left \{ x\in E\mid f\left ( x \right )\in \left ( l_i,l_{i+1} \right ] \right \}$ ，最后通过讨论和式 $\sum_{i}\xi _i m\left ( E_i \right ),\xi _i\in \left [ i_1,i_{i+1} \right ]$ 的极限是否存在来定义；之后勒贝格积分的定义就是这么来的；
通过对可测集作任意划分定义勒贝格积分：对 $E$ 作任意划分： $E=\bigcup_{i=1}^{m}E_i,E_i\cap E_j=\varnothing \left ( i\neq j \right )$ ；并令 $b_i=\inf_{x\in E_i}f\left ( x \right ),B_i=\sup_{x\in E_i}f\left ( x \right )$ ，然后像黎曼积分那样作对应于该划分的小和数 $\sum_{i=1}^{m}b_im\left ( E_i \right )$ 与大和数 $\sum_{i=1}^{m}B_im\left ( E_i \right )$ ，讨论相对于划分的加细，其大和数与小和数的极限是否相等；

有界可测函数的勒贝格积分/ $L$ -积分： 已知 $f\left ( x \right )$ 为定义在有限测度 $\left (m\left ( E \right )< +\infty \right )$ 可测集 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的有界可测函数，不妨设 $f\left ( x \right )\in \left [ m,M \right ]$ ，并令 $D:l_0< m< l_1<l_2<\cdots <l_{n-1}<M<l_n$ 为 $f\left ( x \right )$ 值域的一个划分，且 $\delta \left ( D \right )=\max_{1\leqslant k\leqslant n}\left \{ l_k-l_{k-1} \right \}$ ， $E_k=\left \{ x\in E\mid f\left ( x \right )\in \left ( l_{k-1},l_k \right ] \right \}$ ； $\forall \xi _i\in \left [ l_{k-1},l_i \right ]$ ，有 $f\left ( x \right )$ 对应值域划分 $D$ 的一个和数 $S\left ( D \right )=\sum_{k=1}^{n}\xi _km\left ( E_k \right )$ ；若 $\lim_{\delta \left ( D \right )\rightarrow 0}S\left ( D \right )$ 存在且值为 $A$ ，则称有界可测函数 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上是勒贝格可积的 ，并称 $A=\int _E f\left ( x \right )dx$ 为 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上的勒贝格积分/ $L$ -积分 ；若 $E=\left [ a,b \right ]$ ，则记 $A=\int _{\left [ a,b \right ]} f\left ( x \right )dx$ ；
注意：

当 $f\left ( x \right )$ 为黎曼可积函数时，黎曼积分仍写作 $A=\int _{a}^{b} f\left ( x \right )dx$ ，写法与 $L$ -积分不同；不过之后我们会知道：当 $f\left ( x \right )$ 黎曼可积时， $\int _{\left [ a,b \right ]} f\left ( x \right )dx=\int _{a}^{b} f\left ( x \right )dx$ ；即勒贝格积分为黎曼积分的推广；
定义里的和数同黎曼积分一样也有大和数 $\overline{S}\left ( D \right )$ 与小和数 $\underline{S}\left ( D \right )$ ，显然有 $\underline{S}\left ( D \right )\leqslant S\left ( D \right ) \leqslant \overline{S}\left ( D \right )$ ，且： $\lim_{\delta \left ( D \right )\rightarrow 0}S\left ( D \right )$ 存在 $\Leftrightarrow$ $\lim_{\delta \left ( D \right )\rightarrow 0}\underline{S}\left ( D \right ),\lim_{\delta \left ( D \right )\rightarrow 0}\overline{S}\left ( D \right )$ 都存在且相等；
根据定义，很明显我们可以得到： $f\left ( x \right )$ 为定义在有限测度 $\left (m\left ( E \right )< +\infty \right )$ 可测集 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的有界可测函数 $\Rightarrow f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上勒贝格可积（任一有界可测函数均是勒贝格可积的）；

非负可测函数的勒贝格积分/ $L$ -积分： 已知 $f\left ( x \right )$ 为定义在有限测度 $\left (m\left ( E \right )< +\infty \right )$ 可测集 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的非负可测函数， $\forall m> 0$ ，若令 $\left \{ f\left ( x \right ) \right \}_m=\min\left \{ f\left ( x \right ),m \right \}$ ，则 $\left \{ f\left ( x \right ) \right \}_m$ 同样是定义在 $E$ 上的非负可测函数，而 $\left \{ f\left ( x \right ) \right \}_m\in \left [0,m \right ]$ 说明其有界，那么每个非负可测函数 $\left \{ f\left ( x \right ) \right \}_m$ 在 $E$ 上勒贝格可积；由于 $\int_{E}\left \{ f\left ( x \right ) \right \}_mdx$ 为单调数列，则 $\lim_{m\rightarrow \infty }\int_{E}\left \{ f\left ( x \right ) \right \}_mdx$ 总是存在的或者 $=+\infty$ ；那么我们称 $\int_{E}f\left ( x \right )dx=\lim_{m\rightarrow \infty }\int_{E}\left \{ f\left ( x \right ) \right \}_mdx$ 为非负可测函数 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上的勒贝格积分/ $L$ -积分 ；若 $\int_{E}f\left ( x \right )dx< +\infty$ （为有限数），则非负可测函数 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上是勒贝格可积的 ；
一般可测函数的勒贝格积分/ $L$ -积分： 已知 $f\left ( x \right )$ 为定义在有限测度 $\left (m\left ( E \right )< +\infty \right )$ 可测集 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的可测函数，若 $\int_{E}f^+\left ( x \right )dx,\int_{E}f^-\left ( x \right )dx$ 至少有一个 $\neq +\infty$ ，则称 $\int_{E}f\left ( x \right )dx=\int_{E}f^+\left ( x \right )dx-\int_{E}f^-\left ( x \right )dx$ 为可测函数 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上的勒贝格积分/ $L$ -积分；若 $\int_{E}f\left ( x \right )dx< +\infty$ （为有限数），则可测函数 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上是勒贝格可积的 ；

2、可测函数勒贝格积分的性质与定理：

有界可测函数勒贝格积分的性质与定理：已知 $m\left ( E \right )<\infty$ ， $f\left ( x \right ),g\left ( x \right )$ 均为 $E$ 上的有界可测函数：

（线性性质1） $\forall c\in \mathbb{R}$ ， $\int_{E}cf\left ( x \right )dx=c\int_{E}f\left ( x \right )dx$ ；
（线性性质2） $\int_{E}\left (f\left ( x \right )+g\left ( x \right ) \right )dx=\int_{E}f\left ( x \right )dx+\int_{E}g\left ( x \right )dx$ ；
（可加性）若 $E_i$ 为 $E$ 的可测子集， $E_i\cap E_j=\varnothing \left ( i\neq j \right )$ ， $E=\bigcup_{i=1}^{m}E_i$ ；则： $\int_{E}f\left ( x \right )dx=\int_{E_1}f\left ( x \right )dx+\cdots +\int_{E_m}f\left ( x \right )dx$ ；
（保号性）当 $f\left ( x \right )\leqslant g\left ( x \right )$ 在 $E$ 上几乎处处成立（即 $f\left ( x \right )\leqslant g\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ）时，有 $\int_{E}f\left ( x \right )dx\leqslant \int_{E}g\left ( x \right )dx$ ；
已知 $f\left ( x \right )$ 为定义在有限测度 $\left (m\left ( E \right )< +\infty \right )$ 可测集 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的有界可测函数，若 $f\left ( x \right )\geqslant 0$ 在 $E$ 上几乎处处成立（即 $f\left ( x \right )\geqslant 0,\textup{a.e. }x\in E$ ），且 $\int_{E}f\left ( x \right )dx=0$ $\Rightarrow$ $f\left ( x \right )=0$ 在 $E$ 上几乎处处成立（即 $f\left ( x \right )= 0,\textup{a.e. }x\in E$ ）；

一般可测函数勒贝格积分的性质与定理：

已知 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测，则： $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上勒贝格可积 $\Leftrightarrow$ $\left | f\left ( x \right ) \right |$ 在 $E$ 上勒贝格可积；
已知 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测， $g\left ( x \right )$ 在 $E$ 上非负可积；当 $\left | f\left ( x \right ) \right |\leqslant g\left ( x \right )$ 在 $E$ 上几乎处处成立（即 $\left | f\left ( x \right ) \right |\leqslant g\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ）时，有 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可积，且有 $\int_{E}\left | f\left ( x \right ) \right |dx\leqslant \int_{E}g\left ( x \right )dx$ ；
（线性性质1） $\forall c\in \mathbb{R}$ ， $\int_{E}cf\left ( x \right )dx=c\int_{E}f\left ( x \right )dx$ ；
（线性性质2） $\int_{E}\left (f\left ( x \right )+g\left ( x \right ) \right )dx=\int_{E}f\left ( x \right )dx+\int_{E}g\left ( x \right )dx$ ；
（可加性）若 $E_i$ 为 $E$ 的可测子集， $E_i\cap E_j=\varnothing \left ( i\neq j \right )$ ， $E=\bigcup_{i=1}^{m}E_i$ ，则： $f\left ( x \right )$ 在 $E,E_i$ 上有积分，且有 $\int_{E}f\left ( x \right )dx=\int_{E_1}f\left ( x \right )dx+\cdots +\int_{E_m}f\left ( x \right )dx$ ；特别地，当 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上非负可测时， $\int_{E}f\left ( x \right )dx\geqslant \int_{E_i}f\left ( x \right )dx,i=1,2,\cdots ,m$ ；
（保号性）当 $f\left ( x \right ),g\left ( x \right )$ 均在 $E$ 上有积分，且 $f\left ( x \right )\leqslant g\left ( x \right )$ 在 $E$ 上几乎处处成立（即 $f\left ( x \right )\leqslant g\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ）时，有 $\int_{E}f\left ( x \right )dx\leqslant \int_{E}g\left ( x \right )dx$ ；
当 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上有积分，且 $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$ 在 $E$ 上几乎处处成立（即 $f\left ( x \right )= g\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ）时，有 $\int_{E}f\left ( x \right )dx=\int_{E}g\left ( x \right )dx$ ；

3、勒贝格积分与黎曼积分的关系：

前面有提到，勒贝格积分是黎曼积分的推广，他的类别也比黎曼积分类要多，即如果 $f\left ( x \right )$ 是黎曼可积的，那么 $f\left ( x \right )$ 一定也是勒贝格可积的；但反过来则不然：已知 $D\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} 1, & x\in \left [ 0,1 \right ]\cap \mathbb{Q}\\ 0, & x\in \left [ 0,1 \right ]\cap \left ( \mathbb{R}-\mathbb{Q} \right ) \end{matrix}\right.$ ，即 $D\left ( x \right )$ 所有在 $\left [ 0,1 \right ]$ 内的有理数对应值为1，在 $\left [ 0,1 \right ]$ 内的无理数对应值为0，则 $D\left ( x \right )$ 在 $\left [ 0,1 \right ]$ 上勒贝格可积且 $\int_{\left [ 0, 1\right ]}D\left ( x \right )dx=0$ ，而 $D\left ( x \right )$ 在 $\left [ 0,1 \right ]$ 上并不是黎曼可积的；
已知： $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上勒贝格可积 $\Leftrightarrow$ $f^+\left ( x \right ),f^-\left ( x \right )$ 在 $E$ 上均勒贝格可积；这也说明了： $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上勒贝格可积 $\Leftrightarrow$ $\left | f\left ( x \right ) \right |$ 在 $E$ 上均勒贝格可积；但黎曼积分不是这样的，比如： $h\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}, &0<x\leqslant 1 \\ 0, & x=0 \end{matrix}\right.$ ， $h\left ( x \right )$ 在 $\left [ 0,1 \right ]$ 上黎曼可积但 $\left | h\left ( x \right ) \right |$ 在 $\left [ 0,1 \right ]$ 上不是黎曼可积的；

关系定理：有界函数 $f\left ( x \right )$ 在 $\left [ a,b \right ]$ 上是黎曼可积的 $\Rightarrow$ $f\left ( x \right )$ 在 $\left [ a,b \right ]$ 上是勒贝格可积的；且 $\int_{\left [ a,b\right ]}f\left ( x \right )dx=\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx$ ；故之后我们对 $f\left ( x \right )$ 在 $\left [ a,b \right ]$ 上的勒贝格积分，也记作 $\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx$ ；
关系详述：

根据一系列推导可知，勒贝格积分的性质与黎曼积分十分相似，证明的思想方法也十分相似；但勒贝格积分对可积性的要求比较低，对于有界函数而言，可测就行了；而一般可测函数的勒贝格积分定义看起来与广义黎曼积分有很大不同，但实际上两者之间有着内在联系：比如我们考察 $m\left ( x \right )=\frac{1}{x^p}\left ( 0<x<1,p>0 \right )$ 的黎曼可积性时，需要将瑕点 $x=0$ 挖掉考察 $\left [ \delta ,1 \right )\left ( \delta \rightarrow 0 \right )$ 的黎曼可积性，而考察勒贝格可积性通常是将函数截断，即作截断函数 $m_n\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} 0, &x\in \left ( 0,\frac{1}{n} \right ) \\ \frac{1}{x^p}, & x\in \left [\frac{1}{n},1 \right ) \end{matrix}\right.$ 考察其黎曼可积性，于是得到一个有界可测函数序列 $\left \{ m_n\left ( x \right ) \right \}$ ，它处处收敛到 $m\left ( x \right )$ ， $\left \{ m_n\left ( x \right ) \right \}$ 在 $\left ( 0,1 \right )$ 上的勒贝格积分与 $f\left ( x \right )$ 在 $\left [\frac{1}{n},1 \right )$ 上的黎曼积分是一样的，可见对于非负函数而言，两者本质上相同；
由于实变函数理论中允许函数取值为 $\infty$ ，当然也允许勒贝格积分取值为 $\infty$ ，所以在勒贝格积分中“可积”与“积分存在”是不同的概念；也正因为如此，一般可测函数的勒贝格积分通常是先定义非负函数的积分，再将一般函数分解成正部 $f^+$ 与负部 $f^-$ ，即令 $f^+=\frac{\left | f \right |+f}{2},f^-=\frac{\left | f \right |-f}{2}$ ，若 $f^+,f^-$ 的积分均为有限值，则称 $f\left ( x \right )$ 可积，若 $f^+,f^-$ 至少有一个有限，则称函数的积分存在，正是这个积分定义决定了 $f,\left | f \right |$ 勒贝格可积性的等价；

部分搬运资料来源：

科学网—说课（11）（Lebesgue能否取代Riemann）（实变函数） - 曹广福的博文

1、勒贝格（Lebesgue）积分：背景：勒贝格积分是在勒贝格测度论的基础上建立起来的，这一理论可以统一处理函数有界、无界的情形，且函数也可以定义在更一般的点集（不一定是）上；特别的是它提供了比黎曼积分更加广泛有效的收敛定理；定义勒贝格积分的方法很多，这里先给出通过简单函数来定义的思路；勒贝格积分的定义：通过简单函数定义勒贝格积分：根据笔记6里的简单函数逼近定理，对于上任一非负可测函数，可以找到一列单调递增的简单函数，使得；而对于每个简单函数，其在点集上取值，则有...

1、非负可测函数积分的极限：背景：在数学分析里，函数列极限函数黎曼可积性有这样的表述：，且每个均在上可积函数列的极限函数也在上可积；从而有这样的公式：；那我们会想， 勒贝格 积分与极限能否交换顺序？事实上这只能在很弱的条件下进行；列维（Levi，亦称莱维）定理：已知为可测集上的非负可测函数渐升序列，且在上几乎处处收敛于（即），则有；逐项积分定理：已知为可测集上的非负可测函数序列，则有：；其定理还有一个推论：已知为的互不相交可测子集列，且，则：在上有积分在每个上均有积分，且有；法图（Fatou）引

实变函数、实分析，整本书满满的证明就讲了一个 勒贝格 积分。最为大家所熟知的是用牛顿-莱布尼茨公式算的黎曼积分。但是黎曼积分本身依赖于函数的连续性，像不连续的狄利克雷函数就无法积分了。为了解决这一问题， 勒贝格 利用分割值域的方法，使得函数可积。

### 回答1：《实变函数答案程其襄pdf》是一本数学参考书，主要介绍实变函数的相关知识和应用。程其襄教授在书中对实变函数的定义、性质、连续性、微积分、级数等方面进行了深入阐述。实变函数是数学中非常重要的概念之一。它是指定义在实数集上的函数，与复变函数相对应。实变函数的定义和性质是学习实分析的基础。本书中，程其襄教授首先介绍了实变函数的定义和基本性质，然后详细讲解了如何刻画实变函数的连续性、一致连续性、全纯性和全函数性等概念。此外，本书还涉及实变函数的微积分和级数，包括黎曼积分、 勒贝格 积分、傅里叶级数等重要概念和定理。对于学生和研究生来说，这些知识是深入了解数学分析和实际应用的必备基础。总之，《实变函数答案程其襄pdf》是一本结构清晰、内容详尽的数学参考书。它不仅适合于学生学习和教师教学，还适用于数学爱好者、科研人员和工程技术人员参考使用。 ### 回答2：实变函数是数学分析学科中的一个重要分支。它主要研究连续函数、可积函数、收敛性和一致收敛性、傅里叶级数和变换等。在实变函数中，最常见的就是实数序列和实数函数。而程其襄的《实变函数》PDF是一本非常经典的教材，被广泛用于数学分析等相关专业的课程教学。这本教材的主要内容包括实数、实数的序列、级数、数列、函数的极限、一致连续、连续函数的性质、可积函数、傅里叶级数和变换等。此外，这本书的难度适中，深入浅出，在阅读过程中，我们不仅能够深入理解基本概念和研究工具，还能学会如何将所学知识应用于具体问题求解。程其襄的《实变函数》PDF是学习实变函数的有力工具，对于学生提高数学素养、提升实际解决问题的能力具有重要意义。因此，我们应该认真阅读、掌握和应用其中的知识，从而在学习和实践中不断深化对实变函数的理解和运用能力。