戴德金原理(Dedekind principle)亦称
戴德金分割
，是保证直线连续性的基础，其内容为：如果把直线的所有点分成两类，使得：1.每个点恰属于一个类，每个类都不空。2.第一类的每个点都在第二类的每个点的前面，或者在第一类里存在着这样的点，使第一类中所有其余的点都在它的前面；或者在第二类里存在着这样的点，它在第二类的所有其余的点的前面。这个点决定直线的戴德金割切，此点称为戴德金点(或界点)，戴德金原理是戴德金((J.W.)R.Dedekind)于1872年提出来的，在构造欧氏几何的公理系统时，可以选取它作为连续公理，在希尔伯特公理组Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的基础上，
阿基米德公理
和康托尔公理合在一起与戴德金原理等价
和1都叫做相应的戴德金分割的中介点。一般说来，实数上的戴德金分割必有中介点，下面的定理便说明这一点，而在有理数集上若类似地作一个戴德金分割就不一定有中介点了。例如若令S={x∈Q | x≤0，或x
2
≤2)，T={x∈Q | x>0，且x
2
>2)则(S，T)构成对
有理数集
Q的戴德金分割，但左集S无最大数；右集T无最小数，也就是(S，T)没有中介点
不存在（4）S中有最大值，且T中有最小值。这是因为如果设S中的最大值为a，T中的最小值为b，根据引理，它们的算术平均数c也是有理数且a<c<b。但因为a是S中的最大值，所以c不在S中。而b是T中的最小值，所以c也不在T中。这就导致了有理数c不属于S和T的任意一个集合，与戴德金分割要求S∪T=全集Q矛盾。
对于情况（1）和（2）戴德金称该分割确定了一个有理数，或者把这样的分割叫做一个有理数。对于（3），戴德金称该分割确定了一个无理数，或者把这样的分割叫做一个无理数。有理数和无理数统称为实数，记做R，因此每个实数就是一个对有理数集Q的分割。
在这样的定义下可以给出实数相等的定义以及大小的比较。
相等：设实数a、b是两个戴德金分割(S,T)、(S',T')。若集合S=S'（此时必有T=T'），则称a=b。
大小比较：若集合S⫋S'，则称a<b。若集合S⊆S'，则称a≤b。
也就是说，要证明两个实数相等，只需要证明分割所得到的S和S'相等。
