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克莱因瓶能否制造出来？
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奥雷里亚诺，马孔多在下雨。
以下内容直接复制自百度百科：
在数学上，克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流形，而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。如果观察克莱因瓶的图片，有一点似乎令人困惑——克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。
事实是： 克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。 用扭结来打比方。如果把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线，它并不和自己相交，而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空间中的曲面。 在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。
有人说搜了也不懂，我就试着提炼一下（个人感觉扭结这个比方很形象）：
扭结：
是存在于三维世界中的几何结构，它的 闭合、连续、不与自身相交重合 的。
如果要在 二维世界 中把它表现出来给你看，你会看到这样：
在二维平面中它 不得不 成了不连续的断裂状态，或者是与自身重合。
（事实上上面两张图亦如是，只是因为它们的3D效果，姑且当是我们从图中看到了一个真正意义上的扭结。）
所以克莱因瓶同理。
在三维世界中，将它表现出来是这样：瓶颈穿过了自身与瓶底相接。
但是在一个真正意义上的，在四维世界中的克莱因瓶不是这样的，它的瓶颈是通过第四维和瓶底相接的，并不需要穿过自身。
所以， 真正意义上的、完全符合其几何定义的克莱因瓶不能在三维世界中制造出来，但是这些制造出来的，它能表现出克莱因瓶的重要（而非全部）几何特征 ，以供人理解。这个再次类比回去就是，在纸上画出来的一个扭结，并不完全符合扭结这个几何结构的全部定义，但是它表现出了部分特征，所以我们看到它的图像，自然会懂这是一个扭结。
回答楼主的疑问，图片来自
wiki。
克莱因瓶的确可以买到，但是你会发现能买到的克莱因瓶，上面都开了一个让人很不爽的洞。为什么会这样呢？咱们来看看它是如何构造的：
首先，题主要拿出一张矩形白纸，把左沿和右沿按红色箭头同向黏在一起，成为一个圆柱形的侧面，这一步非常容易办到。
然后，要把圆柱形的上底和下底黏在一起。容易想到的黏结方式是把圆柱掰弯然后连成一个呼啦圈形状的环形（Torus），但是如果你仔细观察上底和下底，就会发现黏结处两边的蓝色箭头是相反的。
要获得一个Klein瓶，必须保证蓝色箭头黏结在一起时箭头朝向相同。无论你怎么试，这一点在三维空间中都不能办到。所以只能退而求其次，在柱面上开一个洞，把一头伸进去，从里面黏上。
从上面的构造来看，真正的克莱因瓶（Klein Bottle）是光滑的，最多只有两条黏接细缝，但现在多了个洞是咋回事！！！它们不是真正的克莱因瓶，只是一种三维空间无法顺利表达它的妥协之举。
根据上面的构造，克莱因瓶和莫比乌斯带有一个相似的地方，就是不分内外面（图片来自
拓扑学与克莱因瓶）：
从上面的口进去，就从曲面外部光滑、顺利地跑到了曲面内部，这一点在咱平时可见的三维几何体上可不多见，它们内外分明。而且， 真正的克莱因瓶是不开洞办到这一点的 ！