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- 中文名
- 康托尔集
- 外文名
- Cantor set
- 领 域
- 数学
- 引入者
- 格奥尔格·康托尔
- 引入时间
- 1883年
- 发现者
- 亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯
- 发现时间
- 1875年
- 定 义
- 位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质
引入
康托三分集
取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集，记为P。称为康托尔点集的
极限
图形长度趋于0，线段数目趋于无穷，实际上相当于一个点集。操作n次后
[2]
边长r=(1/3)^n，
边数N(r)=2^
n
，
根据公式D=lnN(r)/ln(1/r) , D=ln2/ln3=0.631。
所以康托尔点集分数维是0.631。
性质特点
康托三分集具有
（1）自相似性；
（2）精细结构；
（3）无穷操作或迭代过程；
（5）长度为零；
（6）简单与复杂的统一。
康托尔集P具有三条性质：
1、P是完备集。
2、P没有内点。
3、P的基数为c。
4、P是不可数集。
康托尔集是一个基数为c的疏朗完备集。
三进制理解
构造
康托尔集是由不断标记线段的中间三分之一而得出。首先，从
区间
(0,1)中标记中间的三分之一[1/
3
,2/
3
]，并选取端点1/
3
、2/
3
，留下两条线段：(0,1/
3
) ∪ (2/
3
,1)。然后，把这两条线段的中间三分之一都标记，并选取端点1/
9
、2/
9
、7/
9
、8/
9
，留下四条线段：(0,1/
9
) ∪ (2/
9
,1/
3
) ∪ (2/
3
,7/
9
) ∪ (8/
9
,1)。把这个过程一直进行下去，其中第
n
个集合为：
康托尔集就是由所有过程中被选取的点组成。
[1-2]
