弦论和M理论笔记 (1) -- 无限动量模型
这篇连载是课程: 斯坦福大学：弦理论和M理论 [1] 的笔记, 讲师Leonard Susskind是弦论的开创者之一. 这篇文章的深度大概只能属于弦论的科普与简介级别.
其内容不会完全按照课堂内容记载, 所以可能会缺失一些东西, 也会冷不丁的突然出现一个前面没提到的东西. 我会尽量用人话来写得让人更容易看懂一些. 如果出现了写得不清楚或者错误的地方可以在评论区提出来, 但我很有可能也不会x.
这篇连载假设读者具有物理专业本科水平, 我会适当地添加一些名词的介绍链接, 并尽量保持连贯的文章结构.
正文:
首先 为了在经典力学理论框架 (低速) 下描述相对论级别 (高速) 的体系 , 需要引入一个模型, 即 无限动量模型 [2] , 也成光锥模型 (The infinite momentum frame, or light cone frame). 首先假设一个以动量 p=(p_x,p_y,p_z) 运动的物体, 这个动量很大, 所以我们需要用相对论描述他的运动, 但如果我们给他一个沿 p_z 方向的特别特别大的动量 p'_z=p_z+p_0. 那么本来需要用相对论描述的物体就可以用牛顿力学近似了.
在无限动量模型中, 物体的能量为 (自然单位制, c=\hbar=1 )
E=\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2+m^2}
考虑到 p_z 非常大, 可以做展开:
\begin{align} E=&\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2+m^2}\\ =& p_z \sqrt{1+\frac{p_x^2+p_y^2+m^2}{p_z^2}}\\ \sim&p_z\left( 1+ \frac{p_x^2+p_y^2}{2p_z^2}+\frac{m^2}{2p_z^2}\right)\\ \sim& p_z+ \frac{p_x^2+p_y^2}{2p_z}+\frac{m^2}{2p_z} \end{align}
在弦论中, 我们只关注 x,y 两个维度, 即只有两个自由度, 而系统在 z 的自由度完全地由 x,y 决定 (解答学生提问表示这里可以和全息原理有关), 因此我们不关心 z 方向, 可以把 p_z 看做一个常数从而重新调整基态, 使得能量为
E=\frac{p_x^2+p_y^2}{2p_z}+\frac{m^2}{2p_z}
注意到
- 此时由于 p_z 非常大, 能量是一个很小的值, 在量子力学中我们学过体系的演化由演化算符 U=\exp(i Ht) 确定, 因此能量很小意味着时间变得很慢, 这和相对论中的钟慢效应相合 (不要忘了这本来是一个高速运动的体系). 为了重新使得体系以正常速度演化, 我们使用一个调整的时间 \tau=p_z t 取代时间, 而使得能量的表达式变为:
E=\frac{p_x^2+p_y^2}{2}+\frac{m^2}{2}
2. 这个体系的表达式与寻常的质能方程 E=mc^2 有一处非常大的差异, 即此处能量 E 正比于质量的平方 m^2 而非一次方. 这个效应也能在一些实验中 (Regge plots) 被观察到.
现在, 你可以考虑这个高速运动的物体就是我们的主角---弦(好吧文章末尾才提到它我有点对不起TAT), 就目前为止, 你可以把弦当做一个经典的橡皮筋, 他的两端是两个粒子, 而中间每一个点都有一个虚粒子, 这些虚粒子都在做简谐振动, 如果你学过量子场论的话这句话应该非常好理解.
