为何要引入同伦群，同伦群可以解决什么问题？

总结一下学了那么久的同伦论吧

• 虽然说代数拓扑学家的梦想是做出同胚分类，但若真的能构造出拓扑的全性不变量（即两个空间同胚当且仅当这个不变量相同），它必定是和拓扑分类一样复杂的东西，难以计算，没有意义。所以研究一个更容易计算的不变量是更切实际的选择，而容易越计算的东西丢失的信息也越多，同伦不变量就是一个non-trivial的 平衡点

一.引入同伦群的原因，同伦群在很大程度上决定了一个空间的同伦类型，在整个同伦论中，同伦群是同伦论的核心。

同伦群 \pi_{n}(X,x_0) 的定义是 S^n 到 X 的保持基点同伦类 [(S^n,s_0)\longrightarrow (X,x_0)]=\langle S^n, X\rangle

而说到同伦群就不得不说CW复形，是因为我们有下面定理

CW approximation ：对任何空间 X ，都有一个CW复形 W ，和弱同伦等价 W\longrightarrow X （即诱导所有阶同伦群的同态 \pi_n(W)\longrightarrow \pi_n(X) 是同构）。值得注意：弱同伦等价只是一个连续映射，并不是等价关系

而又有定理告诉我们 弱同伦等价诱导任意系数的同调和上同调的同构 ，这就非常有意思了，同伦群和同调群两大不变量都在弱同伦等价下不变，所以我们只需研究CW复形的同调或是同伦就能很大程度上推广到任意空间

CW复形是一个聚万千好性质于一身的空间，随便列举一下都可以说个两三行：

1. 正规（normal）
2. 局部可缩（蕴含局部道路连通）
3. 任何CW复形 X 和它的一个子复形 A ， (X , A) 具有同伦延拓性质，即给定空间 Y 和映射 g:X\times 0 \cup A\times I \longrightarrow Y ， g 总可以延拓至 X\times I 。这个性质在延拓问题上有奇妙的作用：

为了延拓至 X （让上图交换），只需要在同伦意义下延拓（让上图同伦交换）即可，障碍理论的延拓思路就是如此

为什么说同伦群在很大程度上决定了一个空间的同伦类呢？因为我们有下面定理

Whitehead's Theorem：

1.CW复形之间的弱同伦等价是同伦等价

2.若 X 是CW复形， f:Y\longrightarrow Z 是弱同伦等价，那么 f 诱导的 [X, Y] \rightarrow[X, Z] 和 \langle X, Y\rangle \rightarrow\langle X, Z\rangle 都是双射

我们知道，CW复形是由胞腔堆砌而成，而若解决了最简单的胞腔：球面 S^n 的高阶同伦群，就能在一定程度上解决CW复形的同伦群。 S^n 的高阶同伦群的计算是一个古老的问题，至今仍未完全解决，Serre在上世纪50年代用谱序列为工具，证明了

球面高阶同伦群 \pi_{i}(S^{n}) 当 i>n 时是有限abel群，除了 n 是偶数且 i=2n-1 时，此时 \pi_{2n-1}(S^{n}) 同构于 \mathbb{Z} 直和一个有限群

所以我们只需要计算同伦群的素因子。

最新的进展是王国祯教授计算出了60和61阶球面稳定同伦群素数2的因子，证明了61维球面只有唯一的微分结构，并发表在 Annals of Mathematics 上。对球面同伦群我们还知之甚少，必须发展新的工具才有望解决

二. 高阶同伦群可以看成某个空间的基本群，球面的稳定同伦群

对任意空间 X,Y 我们有自然同构 \langle \Sigma X, Y\rangle \rightarrow\langle X, \Omega Y\rangle

所以 \pi_{n+1}(Y)\cong \langle S^{n+1}, Y\rangle \cong \langle \Sigma S^n, Y\rangle \cong \langle S^n, \Omega Y\rangle\cong\pi_{n}(\Omega Y) ，所以loop space的同伦群相当于都降了一阶

那么 \pi_{n+1}(Y)\cong \pi_{n}(\Omega Y)\cong\pi_{n-1}(\Omega^2Y)\cong\cdots\pi_{1}(\Omega^nY)

同伦双角锥定理：悬浮映射 \Sigma :\pi_{i}\left(S^{n}\right) \rightarrow \pi_{i+1}\left(S^{n+1}\right) 是同构当 i<2 n-1 时，是满射当 i=2 n-1 时

推论：

n\geq i+2 时，球面同伦群稳定 \pi_{n+i}(S^n)\cong \pi_{n+1+i}(S^{n+1}) \cong \pi_{n+2+i}(S^{n+2}) \cong \pi_{n+3+i}(S^{n+3}) \cong \cdots

三. 为何又要引入谱（spectra）的概念来推广同调理论？

同伦群和同调的关系在很早就被发现：

Hurewicz定理：对于一个 n 连通（ n\geq 1 ）的空间 X ，Hurewicz map : \pi_{n+1}(X)\longrightarrow H_{n+1}(X) 是同构， \pi_{n+2}(X)\longrightarrow H_{n+2}(X) 是满射。（n连通意思是 \forall i\leq n , \pi_i(X)=0 ）

这样的联系暗示着同伦论和同调论还有更深刻的联系，每个范畴上我们都可以把空间 X 到另一个固定的空间 K 的态射提取出来做出上同调理论，例如de Rham上同调就是在流形的范畴上把光滑函数 \Omega^{k}(X) 提取出来做出的上同调理论。

CW范畴内我们也可以做同样的事情，任意给一个谱： \left \{ K_n \right \} 满足 K_n\approx \Omega K_{n+1} （ \approx 表示弱同伦等价），我们都有一个CW范畴上的reduced上同调理论 \tilde{h}^n(X)=\langle X, K_n\rangle

对任给的pointed CW pair (X , A) ，都有长正和列

\cdots \rightarrow \tilde{h}^{n}(X/ A) \stackrel{p^{*}}{\longrightarrow} \tilde{h}^{n}(X ) \stackrel{i^{*}}{\rightarrow} \tilde{h}^{n}(A) \stackrel{\delta}{\longrightarrow} \tilde{h}^{n+1}(X/A ) \rightarrow\cdots

当然我们也会得到unreduced上同调理论 h^n(X)=[X, K_n] （ [-,-] 表示映射的自由同伦类，即无需保持基点），但在稳定同伦和广义同调理论中，我们通常只关注reduced (co)homology theory，因为由reduced (co)homology theory构成的范畴和unreduced (co)homology theory构成的范畴是 范畴等价 的

当 K_n=K(G,n) 时，也就是Eilenberg-Macline spectrum，这时导出的(un)reduced上同调理论竟然和 G 系数的(un)reduced奇异上同调理论有如下的自然同构

[ X, K_n] \overset{h}{\longrightarrow}H^{n}(X;G)

其中 h([f])=f^*(\alpha) （ \alpha 是 H^{n}(K_n;G) 中一固定元素）

熟悉范畴的同学就会发现，这是在说奇异上同调 H^{n}(-;G) 是 可表 的！

这个定理在障碍理论中起重要作用，而且有很多有趣的结论，例如：

给定CW复形 X,Y ，满足 Y=K(G,n)，Ext(H_{n-1}(X),G)=0 （特别地， X 是 n-1 连通空间时）

那么 [X,Y] \cong H^{n}(X;G)\cong Hom(H_n(X),G)\cong Hom(H_n(X),H_n(Y))

这告诉我们 X 到 K(G,n) 的映射同伦类 完全由诱导的同调的同态决定 ： f\sim g\Leftrightarrow f_*=g_*

事实上，谱和（上）同调理论的联系远不止于此，前面提到的奇异上同调 H^{n}(-;G) 可以由Eilenberg-Macline spectrum表出只是冰山一角，实际上任何cohomology theory都可以由一个谱，这就是 Brown表示定理 ，深刻的揭示了谱和上同调理论的联系。所以研究谱就是在研究上同调理论，两者已是你中有我我中有你，缺一不可。一个non-trivial的例子就是K-theory，以cohomology theory的视角来看K-theory就会发现，Bott周期定理可以用谱的语言来描述：

存在弱同伦等价 \mathbb{Z}\times BU\approx\Omega^2BU

这就是Stable homotopy另一个出发点，第一个出发点是原先上文的说到的球面稳定同伦群，通过（球面）谱来研究球面稳定同伦群。那么Stable homotopy的第二个出发点就是研究（上）同调理论，通过谱和谱范畴的同伦不变量来研究（上）同调理论，而stable homotopy的内容实在过于丰富，就此打住。

四. 映射的提升和延拓问题

最后说一说障碍理论，障碍理论完全解决了CW pair 在simple空间 Y （simple即 Y 道路连通，且 \pi_1 在高阶同伦群 \pi_n 上的作用平凡）上的延拓问题

假设 Y 是simple空间，那么 Y 有principle postnikov tower \left \{ Y_n \right \} ，由于 Y\longrightarrow \lim_{\longleftarrow }Y_n 是弱同伦等价，只需将映射延拓到每个 {Y_n} 上即可，而延拓至到 {Y_n} 的障碍类来自于 \gamma_n\in H^{n+1}\left(X, A ; \pi_{n} Y\right) ，当每个障碍类都是0时，我们就可以延拓到所有的 {Y_n} 上，更多细节可以参考我写的notes

更新： 补充一些references

Classical Homotopy Theory :

1. Hatcher, Algebraic Topology （几本圣经之一）
2. G W. Whitehead, GTM 61 Elements of Homotopy Theory
3. Spaniers, Algebraic Topology

Stable Homotopy Theory :

1. J.F. Adams, Stable Homotopy and Generalised Homology （经典小蓝本，stable homotopy开山之作）
2. Yuli B. Rudyak, On Thom spectra, orientability, and cobordism （非常新的一本stable homotopy教材， 多了很多近二十年来的内容）
3. Robert M. Switzer, Algebraic Topology-Homology and Homotopy （学完Hatcher后必看的进阶教材）