同调论解析

28 天前 · 来自专栏数学想法

半数o阿白

尝试通过大框架的形式讲述一门课程，需要的是短时间浏览完毕一门课程的主要内容，然后通过数学构造手段直接提取出主线，最后将主线整理为符合个人思维的形式，由此，实现深入理解。

阅读提示：

需要知道基本的同伦理论，前置课程不必多说。由于我的书写方式是建立在图的基础上的，如果知道基本的图论的话，会更加顺畅。如果学习过代数图论，可能理解起来更加容易。不过，这不是给初学者看的，当然初学者可以大致浏览一遍，留下一些印象，说不定可以少走一些弯路。斜体依然是非常深奥的知识，属于个人看法，可以跳过，不影响正文。

首先是名词解释

【奇异同调】

范畴函子

首先是基本概念，范畴，范畴包括了对象，态射， 复合律 ，然后满足 结合律 ， 单位态射 。简单说来，就是 保结构的函数集 ，对象可以直接抛掉，比如集合函数，三元素集合的函数，完全不用考虑这个三元素集合是什么样子的，使用一般情形就行了，反正从原则上我们知道他的所有集合函数，是一个有限集。范畴的实质就是 函数集的代数 ，这种代数抽象程度很高，复杂性也很高。

称呼范畴论为 函数集的结合代数 也没有任何问题。

简单的态射例子， 映射同伦类 ，就是对映射分出了很多等价类，这里的等价关系是同伦，回想一下，同伦指的是两个几何体可以通过同伦映射连接，同伦映射满足连续条件，就像动画一样，画面没有突变就是同伦。严谨定义其实没必要过于讲究，因为很多数学概念就是对经验的精确化，脱离经验太多的概念没有长期存在意义。

道路同伦类 ，是对拓扑空间的所有道路分类，其实也是函数分类，道路同伦也是基本同伦理论学习的重点，像闭道路，常值道路，道路复合。

保基点连续函数 ，与上面的类似。固定一个点不变的连续函数，是对一点发出的道路这样的概念的抽象。可以认为是起点不变的道路集合，由此可以联想到变分法，变分法里面轨迹的变分就是类似于这样的集合。

上面这些结构都是定义在 拓扑空间 上的特殊的函数集。所以拓扑空间就是对象，函数集为态射集。构成的范畴代数是关于函数集的结合代数。

不过，我这样写恐怕太过抽象，很难有具体的感受，可是大多数人从来没有实际接触过函数集代数，不明白其中的复杂性。其实 三元素原群 就是一种函数集代数，里面会出现很多非常奇异的图形，这些结构的复杂程度相当高，有兴趣的可以自行了解。三元素原群的图 - 半数o阿白的文章

协变函子 ，保持复合律以及恒等态射，在此我们需要站在二范畴的视角下看函子的概念。 2范畴 是 高阶范畴理论 中的概念，也就是将态射视为数学对象，将函子视为态射的函数，由此实现了层级的上升。函子的作用是保持函数集结构的映射，所谓的 函数集结构 ，指的是各种复杂的数学对象，比如 同调序列 ，他是许多个函数构成的序列，可以简写为 (...,f_1,f_2,f_3,...) ，函子的作用就是保持这种序列结构，在其他的函数集中诱导出类似的结构。这也是同调代数的主题，许许多多不同的函数集具有相似的结构，这种结构就是满足同调性质的序列结构。

反变函子 是逆序的映射，使用 偏序集理论 中的概念更容易理解，偏序集之间的映射有 保序映射 ，也有 反序映射 ，也就是保持了箭头的方向和逆转了箭头的方向。所以，范畴理论是相当抽象的理论，他的种种定义是在人们完全没有听说过的领域中总结出来的，在通常的数学中看不见他们的踪迹。图是比范畴还要抽象的理论，目前的图论只是小打小闹，停留在唯象的层面，基本不涉及图的代数理论。

基本的例子， 遗忘函子 ，保持函数集的结构，松弛约束条件，是一种平凡的函子，就像冰是水这句话，退化为了水是水，丢失了很多信息，不过遗忘和自由的组合却可以给出相当不平凡的构造，关键就在于自由函子是对基本代数结构定义了一种具备了同构唯一性的高级结构，比如集合的自由群就是一种同构唯一结构，还有集合的向量空间，群代数都是如此，当然很多自由函子并没有这样定义，施加了额外约束，那是人们为了排除一些情况自行添加的。不妨碍概念的由来。

基本群函子 ，同伦理论的重头戏，带基点拓扑空间的基本群，这个就不多解释了，了解圆周的基本群就足够了。

单纯同调函子 ，看起来单纯同调也应该提前掌握，这个也简单，单纯形对应的群结构。其实，这也是一种线性代数，不过是添上了额外的运算，边缘算子，实现了内部对象的切换，整个同调理论都是如此，其实，微分代数就是一种基本的同调理论，首先是初等函数集的代数结构，然后是初等函数之间的切换，所谓的微分运算。由此我们也可以知道同调理论对计算的需求非常大，毕竟大家基本都有计算高阶导数时的痛苦经历。

线性对偶函子 ，非常基本的构造，原空间大，对偶空间小，原空间小，对偶空间大，具有反序性，这是无穷维向量空间的性质，有限维反而看不出来。

实代数函子 ，这种函子比较抽象，是一种赋值拉回结构，基本上所有的拉回结构都是反变的。简单解释，就是对每一个函数赋予一个数值，然后根据数值计算结果定义函数的计算。这个反变性体现在映射的位置，也就是hom函子，他是一种双函子，可以与两个函数结合，构成一个集合，前一个位置做变量就是反变的，后一个位置做变量就是协变的，他也是范畴论中相当重要的一种结构，与对偶理论，嵌入理论，同调理论关系密切。可以看作一种抽象赋值结构 hon(A,B)=X ，集合作为赋值结果，前面两个变量互为形式对偶。

在这里就不得不谈一谈双变量函数的一般理论，这是一种极为抽象的理论，在许多高等抽象代数结构中频繁出现，比如层上同调，比如傅里叶谱，基本思路 A\times B\to X ，X被看作赋值，A，B互为对偶，即使他们不满足对偶的严格定义，也被视为对偶，计算与真正对偶的差距，就能获得大量的结构信息。

可逆， 函子的可逆性其实很差，因为一般的函数集基本不具备群结构，没有群结构或者类群结构，可逆无从谈起。所以，这个概念用处不大，还不如拟逆，伪逆之类的，比如伽罗华理论，一般的伽罗华对应只满足拟逆，规定伽罗华扩张后才出现了可逆，但是，这种情况下，理论就太特殊了，不好用。

同构，同构在函子层面基本上也很少出现，因为同构要求基本单元的数目相同，比如集合同构，元素数目相同，群同构，元素数目相同，但是，很多情况下，同构的是等价类，一堆函数视为一个基本单元，这个数目就很难保持一致，所以有函子等价，骨架范畴之类的东西，就是为了摆脱数目的限制，关注结构的相似性。

同构的具体例子有 集合等势 ， 拓扑空间同胚 ， 流形微分同胚 ， 同伦等价 ， 代数同构 ，这些概念应该都不陌生，需要满足可逆性，可逆不好用，所以同构也不好用。

函子保持同构 ，这是对函子保持结构的描述，自然的考虑自同态代数，映射要么映到小结构上，要么保持原样，所以任意的映射性质可以通过自同态映射刻画，这也是我在态射代数中发现的基本规律，那么只要完全理解了自同态集合，所有的问题都可以计算。可惜复杂度太高，无法实现。

由此，第一部分结束。基本的范畴论概念，我直接从函数集的角度描述，会有不一样的体验。

链复形链映射

对于 链复形 涉及的概念，可以通过几幅图形象的表示，这种观点为 交换图数学 ，即通过交换图定义数学概念，满足了特定的交换图，形成一个合理的 数学概念集合 ，也可以看作一种抽象的闭包。我们都知道闭包的含义是容纳某些元素的封闭集合，那么推广到数学概念中，就是容纳了某些数学概念的封闭集合。显然，这也是一种 元数学 ，即研究数学理论的理论。

图形上 同调群 的构造就是这回事，是数学对象序列的对应，切换和转移。自然的包括两部分， 序列内部的描述 ，包括复形， 边缘算子 ， q维复形 ， 闭链群 ，闭链， 边缘链 ， 边缘链群 ，其中闭链意味着 同态核 ，边缘链意味 同态像 ，当他们相同时就是正合。正合代表了平凡，因为没有差异。同调群描述的就是这个差异，其中闭链的数目会大于边缘链的数目，所以 同调群定义为闭链群商边缘链群。

为什么闭链多呢？自然的想法，边缘链肯定是封闭的，就像一个圆的边界是一个封闭的圆周，但是对于一个环来说，除了外边界，还有内边界，内部就可以看作是孔。内部边界是不是边缘呢？总觉得有些问题。

需要回到边缘算子的定义上去， 边缘算子的定义为两次作用结果为零的态射 ，是一种抽象的定义。可以尝试去具体化，通过 数字指标 表示元素的阶，多个数字代表多个元素，边缘算子的作用是阶数减一，比如 \partial:2\to 1 ，然后我们再来构造一个具体的实例，比如 222\to111\to000 这是经过两次边缘计算后获得的像，正好为0，穷举满足这样定义的所有可能边缘算子。

0\to0\to0;1\to0\to0;2\to1\to0\\ 3\to2\to1

所以满足边缘算子的结构的阶数必须为0,1,2。任意的三进制字符串都可以视为元素集合。

闭链为什么多？因为同态不是 满同态 ，所以可以引入新的元素，比如

\partial:22\to11\to00 是一种理想的映射情况，对应的对象序列为 22-0-0 ，但其实中间的集合可以添加新元素，比如对象序列 22-1-0

\partial:22\to11|1\to00|0 出现了差异，从左往右看，像为11，可是从右往左看，核为111，多了一个元素。这个元素就是同调群中的元素。其实我们也会发现，只有添加1时才会出现这个现象。所以 同调群捕捉的就是这种指标为1的几何对象。

全部搞清楚了，精彩，太精彩了，这就是同调群的本质，是对边缘映射相继作用产生的奇异现象的捕捉。这个对象就是洞。不过，还需要搞清楚这里的2,1,0对应什么几何体，2指的应该是 q维单形 ，1为 q维单形围成一个孔洞 ，0为无。