算术、调和平均不等式与Cauchy不等式的应用
首先是在B站看到的一个关于一道CMO奥林匹克数学竞赛题的视频，链接如下：
题目如下：
假设有 n （ n>2 ）个正数 x_{1},x_{2},...,x_{n} ，满足 \sum_{i=1}^{n}{x_{i}}=1 。
求证 \sum_{i=1}^{n}{\frac{x_{i}}{\sqrt{1-x_{i}}}}\geq\frac{\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{x_{i}}}}{\sqrt{n-1}} 。
对于题目本身我们先放一边，先来回顾以下算术平均不等式和Cauchy不等式。
1. 算术平均 \geq 几何平均 \geq 调和平均：
即对于 n （ n>2 ）个正数 y_{1},y_{2},...,y_{n} ，满足
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{y_{i}}\geq\sqrt[n]{y_{1}y_{2}...y_{n}}\geq\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{y_{i}}}}
2. Cauchy不等式：
\sum_{i=1}^{n}{a_{i}^{2}}\sum_{i=1}^{n}{b_{i}^{2}}\geq(\sum_{i=1}^{n}{a_{i}b_{i}})^{2}
那么，对于题目本身，可以在一定的变换后，用上几次上述两个不等式，题干不等式便可得到证明。
证明：
对不等式左边求和号中分子加1减1后可得：
\sum_{i=1}^{n}{\frac{x_{i}}{\sqrt{1-x_{i}}}}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{1-1+x_{i}}{\sqrt{1-x_{i}}}}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{1-x_{i}}}}-\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{1-x_{i}}}
然后，对 \frac{1}{\sqrt{1-x_{1}}},\frac{1}{\sqrt{1-x_{2}}},...,\frac{1}{\sqrt{1-x_{n}}} 应用算术平均 \geq 调和平均，有
\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{1-x_{i}}}}\geq\frac{n^{2}}{\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{1-x_{i}}}}
因此，不等式左边满足：
\sum_{i=1}^{n}{\frac{x_{i}}{\sqrt{1-x_{i}}}}\geq\frac{n^{2}}{\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{1-x_{i}}}}-\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{1-x_{i}}}
再对 {\sqrt{1-x_{1}}},{\sqrt{1-x_{2}}},...,{\sqrt{1-x_{n}}} 和 1,1,...,1 应用Cauchy不等式，有
\sum_{i=1}^{n}{(\sqrt{1-x_{i}})^{2}}\sum_{i=1}^{n}{1^{2}}\geq(\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{1-x_{i}}\cdot1})^{2}
\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{1-x_{i}}}\leq\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(1-x_{i}})\cdot n}=\sqrt{(n-1)n}
因此，不等式左边满足：
\sum_{i=1}^{n}{\frac{x_{i}}{\sqrt{1-x_{i}}}}\geq\frac{n^{2}}{\sqrt{n(n-1)}}-{\sqrt{n(n-1)}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n-1}}
再次对 {\sqrt{x_{1}}},{\sqrt{x_{2}}},...,{\sqrt{x_{n}}} 和 1,1,...,1 应用Cauchy不等式，有
(\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{x_{i}}\cdot1})^{2}\leq\sum_{i=1}^{n}{(\sqrt{x_{i}})^{2}}\sum_{i=1}^{n}{1^{2}}=n
\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{x_{i}}}\leq\sqrt{n}
因此， \sum_{i=1}^{n}{\frac{x_{i}}{\sqrt{1-x_{i}}}}\geq\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n-1}}\geq\frac{\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{x_{i}}}}{\sqrt{n-1}}
【证毕】
