特征频率分析简介

特征频率 或 固有频率 是系统趋于振动时的特定离散频率。许多类型的系统中都存在固有频率，例如，在乐器或 RLC 电路中，固有频率表现为驻波模式。本文主要描述机械结构中的特征频率研究，但其中的许多概念具有普遍的适用性。

当结构在特定的特征频率下振动时，会变形为相应的形状，我们称为 特征模态 。特征频率分析只能提供模态的形状，而不能提供任何物理振动的振幅。仅当已知实际激励和阻尼特性时，才能确定实际的变形大小。

确定结构的特征频率是结构工程的重要组成部分。以下列出此类分析的一些目的：

其中， 是 固有角频率 ，单位为 rad/s。它与 固有频率 （单位：Hz）的关系可以表示为 。只要不会产生混淆，有时可以采用更宽泛的说法，直接将 称为固有频率。

上述解可以解释为：质量块一旦开始振动过程，就可以在没有任何外部激励的情况下完全以这个频率进行自由振动。举个例子，如果您拉伸弹簧后再松开，质量块会以这个频率永远振动。但实际生活中总存在或多或少的阻尼，所以振动最终会逐渐消失。

上述特征频率表达式在刚度和质量如何影响特征频率方面表现出非常普遍的特性：

在 自由振动 下，系统能量守恒。质量块的动能转化为弹簧应变能，反之亦然。

假设系统中也存在黏滞阻尼，则运动方程为

其中， 是一个矢量，它的沿 j 向运动的自由度的所有分量值均为 1，而所有其他分量则为 0。请注意，如果使用质量矩阵缩放，则分母的值为 1。

您也可以定义旋转加速度的参与因子。在这种情况下，矢量 的结构将更复杂，其中的元素取决于到旋转中心的距离。

模态质量 的概念有时会引起混淆。模态质量的一种定义是内积

在使用质量矩阵缩放时，这意味着每个模态的模态质量均为 。其他的归一化选择会提供其他值，所以从这个意义上来说，模态质量并没有真正的物理意义。

有效模态质量 是一个与模态参与因子有关的物理量。在 j 方向激励的模态 i 的有效模态质量可以根据参与因子和模态质量定义为

所有特征模态在特定 j 方向的有效模态质量之和等于结构的总质量：

因此，我们可以得到有效模态质量的物理解释。对于 j 方向的加速度，通过上式可以计算总惯性力中有多少与模态 i 有关。该表达式可用于估计在基于模态叠加的后续响应分析中，实现直观的表示效果所需的模态数。

复特征模态的解释

如上所述，阻尼系统的特征频率通常为复值，其中实部包含角频率，虚部提供有关模态阻尼的信息。

除此之外，特征模态本身也会是复值。对于阻尼结构，不同的位置的特征模态位移不再同相，并且复位移将携带相位信息。如果上面的双自由度示例通过一个阻尼器（ ）进行扩展，则特征频率将变为

如果阻尼比较小，则可以估算为特征频率的虚部与实部之比。因此在这两种模态下，比值都略大于 0.2。阻尼特征模态为

一阶模态中两个位移分量之间的相位角差为 17°，二阶模态中为 137°。在无阻尼的情况下，对应的值分别为 0°和 180°。在下面的动画中，可以清晰地看到两个位移不同步。

一般的实体、梁或板等连续系统将具有的特征频率取决于几何结构、材料特性和约束，通常连续系统具有无数个特征频率。而实际上，有意义的模态的数量却是有限的。高阶模态不太可能受到很大程度的激励，并且通常具有较大的阻尼。

在一般情况下，特征模态是在整个体上定义的位移场 。在连续的情况下，模态的正交性可以表示为

其中 为质量密度。

这里针对密度选择了归一化（对应于离散情况的质量矩阵缩放），但这不是必需的。相关的数学解释是，特征模态关于一个内积正交，其中将质量密度分布作为权函数来定义这个内积。

下面将对常见结构类型的特征频率进行详细描述。

对于长度为 L 、具有恒定弯曲刚度 EI 以及单位长度质量为 的细长梁，其特征频率可以写为

系数 与支撑条件和模态数相关。

呈现一种或多种对称的结构具有多个特征频率，因此对应的特征模态也不唯一。以前面讨论的圆膜的二阶和三阶模态为例，这两个模态的特征频率相同，并且绘制的两个振型旋转后相互成 90°。然而，任何旋转方向都会提供有效的特征模态。一般情况下，人们会优先选择正交振型。

有时，与从有限元解中得到的多个特征值对应的振型不具有直观的形状。以一块方板为例，在教科书中，模态很可能显示为以下形状。

在分析对称结构时，我们可以利用对称性，只对一半或四分之一的结构建模。虽然这种做法是可行的，但此方法需要使用几组不同的边界条件进行多次分析。例如，如果使用一个对称平面，则必须使用对称和反对称边界条件。

下面讨论在对称平面框架上使用对称条件的情况。通过使用两组边界条件可以提取整个结构的所有特征模态。

有些结构（比如风扇）包含大量的重复部分。如果我们只为一个小扇区建模，并结合简单的循环对称边界条件，就可以得到单个叶片的特征模态。但这种方法并不正确，因为扇叶之间还存在耦合。尽管如此，我们仍然可以对单个扇区执行分析。但边界条件必须基于 Floquet 理论 ，这种边界条件中引入了方位角模数。

然后，我们就可以基于一系列方位角模数进行求解，这一方法的优势在于计算量很小。尽管我们必须根据扇区数来执行多次分析，但计算量与扇区数严格成正比。不过，计算较小的单扇区模型和计算完整模型所需的 CPU 时间存在非常大的差异。

一般来说，结构中的拉应力将提高其固有频率。实际上，膜和金属线只有在应力状态下才具有刚度。对于板等其他情况，拉应力将有助于增大弯曲刚度。扇叶分析就是这种效应发挥重要作用的一个例子，其中离心力通常产生径向定向的拉应力，从而提高固有频率。

同理，压应力会降低结构的固有频率。