对于所有x,y∈Rn,∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥x, y \in \Bbb R^n, \|x+y\| \leq \|x\|+\|y\|x,y∈Rn,∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥，其中对于x∈Rnx \in \Bbb R^nx∈Rn, ∥x∥2=∑i=1nxi2\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x^2_i}∥x∥2=i=1∑nxi2
柯西
不等式
：
(∑k=...
利用Cauchy
柯西
不等式
证明
三角
不等式
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柯西
不等式
是欧式几何中最基本，也是最重要的
不等式
。它的重要之处，不仅在于该结论本身应用之广泛；也在于它的证明思想对于其他定理的证明，有极大的借鉴意义。例如，在以后介绍的凸集的支撑超平面定理中，就会用到
柯西
不等式
的证明思想。
柯西
(Cauchy)
不等式
：对于n维空间上的任意两个向量xxx和yyy都有
∣xTy∣≤∣x∣∣y∣|x^Ty|\leq |x||y|∣xTy∣≤∣x∣∣y∣
xTy=∑...
【机器学习必知必会系列】高手必备数学教程
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线性代数
机器学习&人工智能的高手必须懂数学，没有数学基础，只能做肤浅的事。姚老师，精选来自麻省理工可汗学院精品数学课程，呕心沥血15个日夜，5本手写讲义，涵盖120余个
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Cauchy–Schwarz
不等式
的形式为：
[E(XY)]2≤E(X2)E(Y2)
[\text{E}(XY)]^2 \leq \text{E}(X^2)\text{E}(Y^2)
[E(XY)]2≤E(X2)E(Y2)
证明非常简单，只需先将YYY分解为相互正交的两部分（类似于OLS回归）：
Y=E(XY)E(X2)X+(Y−E(XY)E(X2)X)
Y=\dfrac{\text{E}(XY)}{\text{E}(X^2)}
