第六讲幂级数的收敛半径和收敛域_qq_53766976的博客

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一，函数项级数

定义： $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)=u_{1}(x)+u_{2}(x)+u_{3}(x)+...+u_{n}(x)+...$ ， $x\in X$
部分和： $s_{n}(x)=u_{1}(x)+u_{2}(x)+u_{3}(x)+...+u_{n}(x)$
收敛点 $x_{0}$ ：使函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x_{0})$ 收敛的点
发散点 $x_{0}$ ：使函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x_{0})$ 发散的点
收敛域：D={ $x\in X\left. \right |$ $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x_{0})$ 收敛}，即所有收敛点的集合
和函数： $s_{x=}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)=\lim_{x\rightarrow \infty }s_{n}(x)$ ， $x\in D$
余项： $r_{n}(x)=s(x)-s_{n}(x)=\sum_{k=n+1}^{\infty }u_{k}(x)$

二，幂级数及其收敛性

幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{n}x^{n}+...$
有一个明显的收敛点：x=0
幂级数是否收敛，跟 $a_{n}$ 的形式相关
幂级数的收敛有三种可能：

处处绝对收敛，如 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}=e^{x}$
仅在x=0处收敛，如 $\sum_{n=1}^{\infty }n!x^{n}$
在以x=0为中心，两边对称的区间内收敛，如 $\sum_{n=1}^{\infty }x^{n}$ ，收敛域（-1,1）

三，Abel定理

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 在点 $x_{0}\neq 0$ 处收敛，则对任何点x： $\left | x \right |< \left | x_{0} \right |$ ，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 都绝对收敛。如图：
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 在点 $x_{0}\neq 0$ 处发散，则对任何点x： $\left | x \right |> \left | x_{0} \right |$ ，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 都发散。如图：

四，收敛半径

设R是收敛域的上确界
由Abel定理，当 $\left | x \right |< R$ ， $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 绝对收敛，当 $\left | x \right |> R$ ， $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 发散
$\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 的绝对收敛区间： $(-R,R)$
$\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 的发散区间： $(-\infty ,-R)\cup (R,\infty )$
R即收敛半径， $(-R,R)$ 为收敛区间
如果幂级数是 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$ ，则收敛区间是 $(x_{0}-R,x_{0}+R)$
$\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 在端点 $\pm R$ 处敛散性不确定

五，求 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 收敛半径R

设正项级数系数的比值 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left |a_{n+1} \right |}{\left |a_{n} \right |}=\rho$ ，（ $0\leq \rho \leq +\infty$ ）
也可以用正项级数的比值审敛法或根值审敛法求解
若 $0< \rho < +\infty$ ，则 $R=\frac{1}{\rho }$
若 $\rho =0$ ，则 $R=+\infty$ ，处处收敛
若 $\rho =+\infty$ ，则 $R=0$ ，仅在x=0处收敛
如果幂级数是 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{mn}$ ， $(m> 0)$ ，则 $R=\frac{1}{\sqrt[m]{\rho }}$

六，求 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 的收敛域（讨论 $\pm R$ 处敛散性）

收敛域有四种可能： $(-R,R)$ ， $[-R,R)$ ， $(-R,R]$ ， $[-R,R]$
将 $\pm R$ 代入 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ ，分别求 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}R^{n}$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}(-R)^{n}$ 的敛散性
幂级数只可能在 $\pm R$ 处条件收敛

一，函数项级数定义：，部分和：收敛点：使函数项级数收敛的点发散点：使函数项级数发散的点收敛域：D={ 收敛}，即所有收敛点的集合和函数：，余项：二，幂级数及其收敛性幂级数有一个明显的收敛点：x=0 幂级数是否收敛，跟的形式相关幂级数的收敛有三种可能：处处绝对收敛，如仅在x=0处收敛，如在以x=0为中心，两边对称的区间内收敛，如，收敛域（-1,...

幂级数 相关概念 幂级数 收敛域 幂级数 ，就是形如∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty}{a_nx^n}∑n=1∞anxn的函数项级数，其中{an}\{a_n\}{an}是实数列。对 幂级数 而言，我们收敛要考察 幂级数 的收敛域，其次，要考察其一致收敛性，再由一致收敛性，就可以得到 幂级数 的相关性质。首先我们考察 幂级数 的收敛域。假设 幂级数 在x=x0≠0x=x_0\neq 0x=x0=0处收敛，那么，对于∣x∣<∣x0∣|x|<|x_0|∣x∣<∣x0∣的点，就有anxn=anx0n(xx0)n(1)\tag{1} a_nx^n=a_nx_0^n(\frac{x}{

Forward：函数输入 c 是普通系数向量，实值。函数输出 d 是伯努利系数向量，实值。使用行向量。 d =伯努利力量系列（c）逆：函数输出 c 是普通系数向量，实值。函数输入 d 是伯努利系数向量，实值。使用行向量。 c = inverse_bernoulli_power_series(d) 完整的理论可以在这里找到。方法论依赖于通过倒狄利克雷级数定义伯努利多项式。 https://qr.ae/pNvLNt 快速解释定义一个普通的 幂级数 ，其中 c_k | k=0,1,2...表示普通系数向量y(x) = c_0 + xc_1 + x^2c_2... 定义伯努利 幂级数 ，其中 d_k | k=0,1,2...表示伯努利系数向量y(x) = B_0(x)d_0 + B_1(x)d_1 + B_2(x)d_2... 正向变换：函数输入为有限普通系数向量c_k | k

《无穷级数与连分数》比较系统地对无穷级数在数学中所起的技术工具作用与连分数解析理论构造闵可夫斯基（Minkowski）函数及将其开拓到复数域上作了介绍。特别较为无穷发散级数的几种和性结合实际地作了论述和论证。当然这是《无穷级数与连分数》在数学思想方面的体现。《无穷级数与连分数》第一章主要介绍无穷收敛级数在经典与近代数学中的技术工具作用，第二章主要介绍无穷发散级数作为某些函数的渐进级数作相应的数值计算与求微分方程的数值解。同时不同程度地阐明了对无穷发散级数的几种可和性方法。第三章论述连分数与无穷级数的关系及连分数的解析理论。第四章应用其连分数的解析理论，特别是Denjoy引理构造了闵可夫斯基函数，而这个函数具有明显的特征，顺便将其解析开拓到复平面的某个区域内，给出最普遍的表示形式。

此脚本确定无穷级数的收敛或发散，计算总和，提供部分总和图，并计算 幂级数 的收敛半径和区间。包括的测试有：Divergence Test（nth term test）、Integral Test（Maclaurin-Cauchy test）、Comparison Test、Limit比较测试、Ratio Test（d'Alembert ratio test）、Root Test（Cauchy root test）、Alternating Series Test （莱布尼茨检验）、绝对收敛检验、p 级数检验、几何级数检验、Raabe 检验和 幂级数 检验。 幂级数 检验使用比率检验、根检验和柯西-哈达玛定理来计算收敛半径和区间。这个脚本可以帮助微积分（II 或 III）学生学习无限级数章节，也可以帮助微分方程学生学习级数解。

3. 否则，递归调用函数，计算前n-1项的和，然后加上第n项的值，即可得到前n项的和。 4. 在计算第n项的值时，需要根据通项公式计算出(-1)^(n-1) * x^n / n的值。 5. 最后返回前n项的和即可。下面是递归求解简单交错 幂级数 的部分和的Python代码实现： def partial_sum(n, x): if n == 1: return x else: return partial_sum(n-1, x) + (-1)^(n-1) * x^n / n 其中^表示幂运算，即x的n次方。