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群论和拓扑学有什么关系？
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谢邀。
群属于代数结构。拓扑里面自然的有代数结构，比如拓扑空间上可以定义基本群、（上）同调群，还有拓扑空间的自同胚群，等等。代数结构的特点在于方便计算，方便比较；比如要确定两个拓扑空间不同胚，你只需要算一下它们的基本群不一样就行了；当然要证明两个东西同胚就麻烦很多。。
群上面也可以带拓扑结构，也就是所谓的 拓扑群，一个群上面带拓扑结构，或者说一个拓扑空间上面带群结构，取决于你怎么看，重点在于群运算要是连续的。拓扑群里面有一个重要的子类是所谓的李群，里面又有一个重要的子类叫做典型群（矩阵群），比如你在线代里面可能接触到的 GL(n), O(n), U(n)，等等，皆属于这一类。
“中学学的数论，几何；大学学的微积分，线性代数，图论等内容，这些是不是都是建立在群论和拓扑学的基础上的？”
这个问题我不知道怎么回答。。因为问得太泛了。。中学学的数论主要用到的就是整除性质和同余理论，并没有牵扯到太多高层次的数学；中学的几何主要是平面几何、解析几何、立体几何，也是比较初等的数学，并不需要很现代的观点；微积分跟拓扑有关，或者说微积分里面的 \mathbb{R}^n 及其上的连续函数是一般拓扑学的“原型”；线代考虑的对象主要就是线性空间和线性映射，这里面自然包含群，比如我上面提到的GL(n)等等，当然还有它自带的加法群，不过这也太平凡了。。图论的话，其实更多算是组合的范畴，图论的命题并不需要你一定学过群论或者拓扑学才能看懂，当然图论可以和它们扯上关系；数学里面有交叉学科并不奇怪，图论还可以和分析产生联系呢，比如图上可以定义离散的调和函数，这个在领域内恐怕都是比较熟知的理论了。
最后说一句，为什么老是要讨论“学科之间的联系”这种虚头巴脑的东西呢，自己去学、去体会，不是更有意思么？
和拓扑中的基本群（fundamental group）有许多关系。
比如：由 Cartan-Hadamard定理： the universal cover of a complete m-dimensional Riemannian manifold X of non-positive sectional curvature is diffeomorphic to R^m, in particular its universal cover is contractible.
由此人们会关注于 aspherical space: A manifold M is aspherical if it’s path connected and its universal cover is contractible.
再由 Whitehead’s Theorem： If a map f : X → Y between connected CW complexes induces
isomorphisms f∗ : πn(X) → πn(Y ) for all n, then f is a homotopy equivalence.
由 Whitehead’s Theorem, an aspherical CW-complex 由它的fundamental group决定, 由此，关于基本群就可以展开很多讨论，相反人们会把一个群看成一个基本群，进而研究其对应manifold的性质进而研究这个群，Eilenberg–MacLane space就保证了这个的可行性。
又比如， Milnor-Sˇvarc Lemma，保证了在一定条件下（ 群G acts properly
and coboundedly on the geodesic metric space）这个群的Cayley graph就与这个geodesic metric space“相似” (quasi-isometric).
这类的问题，基本上是属于几何群论的范畴，上世纪Gromov把很多微分几何方面的想法概念引入了群论，做出了许多相关工作。