Tikhonov正则化（也称为 ridge regression 或岭回归）是一种线性回归分析方法，在解决病态问题和过拟合问题时非常有用。在统计学和机器学习领域，它通过在优化目标函数中加入一项正则项（惩罚项）来改进模型的泛化能力，并且有助于稳定系数估计，尤其是在特征之间高度相关的数据集上。

应用（示例）：

在标准线性回归模型中，我们通常试图最小化残差平方和，即：

其中 X是设计矩阵，W是权重向量，y是目标变量向量。

然而，在某些情况下，由于 X的列可能高度相关，或者观测数据不足导致方程组不适定（即矩阵不可逆），直接求解可能会产生过大或不稳定的结果。

Tikhonov正则化引入了一个正则项，修改了上述目标函数：

这里 是 W的L2范数（即权重向量各元素的平方和），λ 称为正则化强度参数。通过增加这一项，我们在寻求最优解的同时，也对权重向量的大小进行了约束，倾向于选择较小的权重值。

这种方法背后的直觉是，通过引入正则化项，模型会更加偏好简单、平滑的解决方案，从而避免过拟合现象。随着 λ 增大，模型的复杂度降低，对于噪声和异常值的敏感度也会降低。

在实际应用中，选择合适的 λ 值至关重要，可以通过交叉验证等方法确定最佳正则化强度。Tikhonov正则化在很多机器学习和信号处理任务中都得到了广泛应用，例如在主成分分析（PCA）、图像恢复、系统辨识等领域。