勒让德多项式
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勒让德方程
为
\begin{align}&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left[(1-x^2) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} P_l(x) \right] + l(l-1)P_l(x) = 0&(1)\\\end{align}
我们仅在区间
x \in [-1,1]
上考虑
l
为非负整数的情况． 方程的解
P_l(x)
是关于
x
的
l
阶多项式
\begin{align}&P_l(x) = \frac{1}{2^l}\sum_{s=0}^{[l/2]} \frac{(-1)^s (2l-2s)!}{s!(l-s)!(l-2s)!} x^{l-2s}&(2)\\\end{align}
其中
[x]
是向下取整函数． 当
x
是整数，
[x] = x
， 当
x
是非整数，
[x]
是小于
x
的最大整数．
这里列出前几个多项式
\begin{align}&\begin{aligned} &P_0(x) = 1 && P_3(x) = \frac12 (5x^3 - 3x) \\ &P_1(x) = x && P_4(x) = \frac18 (35x^4 - 30x^2 + 3) \\ &P_2(x) = \frac12 (3x^2 - 1) \qquad && P_5(x) = \frac18 (63x^5 - 70x^3 + 15x) \end{aligned}&(3)\\\end{align}
勒让德多项式也可以用
罗德里格斯
公式表示
\begin{align}&P_l(x) = \frac{1}{2^l l!} \frac{\mathrm{d}^{l}}{\mathrm{d}{x}^{l}} (x^2 - 1)^l&(4)\\\end{align}
由于求导会改变函数的奇偶性， 由上式可以证明当
l
为偶（奇）数时
P_l(x)
是偶（奇）函数， 所以只有
x
的偶（奇）次方项．
正交归一性质
归一化系数为
\begin{align}&A_l = \sqrt{\frac{2l + 1}{2}}&(5)\\\end{align}
满足正交归一化条件
\begin{align}&\int_{-1}^1 A_{l'} P_{l'}(x) \cdot A_l P_l(x) \,\mathrm{d}{x} = \delta_{l,l'}&(6)\\\end{align}
其他性质
\begin{align}&P_l(1) = 1 \qquad P_l(-1) = (-1)^l&(7)\\\end{align}
勒让德方程的级数解
令
\begin{align}&P_l(x) = \sum_{n = 0}^\infty c_n x^n&(8)\\\end{align}
代入方程， 对比系数得到递推公式
\begin{align}&c_{n+2} = \frac{n(n+1)-l(l+1)}{(n+2)(n+1)}c_n = \frac{(n-l)(n+1+l)}{(n+2)(n+1)}c_n&(9)\\\end{align}
可见偶数项系数可用
c_0
表示， 奇数项系数可用
c_1
表示． 所以
c_0
和
c_1
可以看做是二阶微分方程的两个任意常数．
当
l
为整数时， 可以证明
n > l
以上的系数都为 0， 令最高次项系数为
\begin{align}&c_l = \frac{(2l)!}{2^l (l!)^2}&(10)\\\end{align}
就得到了
式 2
．
生成函数
勒让德多项式可以表示为以下函数对
r
的泰勒展开的系数
\begin{align}&\frac{1}{\sqrt{1 + r^2 - 2rx}} = \sum_{l = 0}^\infty P_l(x) r^l&(11)\\\end{align}
其中
1/\sqrt {1+ r^2 - 2rx}
叫做勒让德多项式的生成函数或母函数
