戴德金分割之实数理论

有理数的柯西序列比较良好的刻画了我们关于实数的直觉，并且在此后很自然的建立起序列的极限理论，虽然在某些地方也颇为麻烦，但本人整了本文之后，认定戴德金分割的方法远比有理数柯西序列麻烦，起码在验证不少域公理时如此，不过最小上界性的证明和序的构造简单太多太多。
但很奇怪的是，更多的书用的是戴德金分割，戴德金分割十分的不合直觉，不过很集合，并且不需要等价类，想不太明白为什么都用戴德金分割取搞。
不过我感觉戴德金分割比有理数的柯西序列酷！虽然有理数柯西序列一定义出来就自然的是完备空间，而戴德金分割还需要绕一些弯子去证明，但感觉酷就是感觉酷。有理数柯西序列感觉是扭扭捏捏的逼近实数，而戴德金分割则是直接压过去，压到实数。
并且有理数柯西序列，首先要有理数集和自然数集笛卡尔积一下，然后子集公理分离出部分函数作为柯西序列，然后求等价类，最终构建实数集，这样的话，可以视作有理数经过了两层或者三层包装，而戴德金分割就包装了一次。
本文可能有一些错误，望诸君指正。
本文诞生的基础之一是：在家无聊，我要整点有意思的东西，虽然在家学习，我还有许多作业没有搞定，但人总是需要娱乐一下的嘛，嘿嘿咻。
本文的目标：先给出实数公理，然后通过戴德金分割构造出实数，定义实数的序、加减乘除，验证实数公理，最终定义实数的序列极限。
第一部分：实数公理
设 \mathbb R 是一个不可数集合，我们在 \mathbb R 上定义满足如下性质的加法函数、乘法函数、序关系，并令其满足最小上界性，那么称 \mathbb R 是实数域。
(I)域公理
对于任意的 a,b,c∈\mathbb R ，存在 0,1∈\mathbb R ，使得 \mathbb R 上的二元运算 +,× 满足如下性质：
交换律： a+b=b+a,a\times b=b\times a
结合律： a+(b+c)=(a+b)+c,a\times(b\times c)=(a\times b)\times c
分配律： (a+b)\times c=a\times c+b\times c
单位元： a+0=a,a\times 1=a
逆元：对于任意的 x∈\mathbb R-\{0\} ，存在 y,z∈\mathbb R ，使得 x+y=0,x\times z=1
(II)序公理
对于任意的 a,b,c∈\mathbb R ， \mathbb R 上的二元关系 ≤ 满足如下性质，并定义 a<b\Leftrightarrow a≤b∧a≠b
三歧性：要么 a=b ，要么 a<b ，要么 b<a
传递性：若 a<b∧b<c ，则 a<c
反对称性：若 a≤b∧b≤a ，则 a=b
加法保序性：若 a<b ，则 a+c<b+c
正乘法保序性：若 a<b∧c>0 ，则 a\times c<b\times c
(III)最小上界性
上界定义：设 S⊆\mathbb R∧\alpha∈\mathbb R ，称 \alpha 是 S 的上界，当且仅当，对于任意的 x∈S ，都有 x≤\alpha 。
最小上界定义：设 S⊆\mathbb R∧\alpha∈\mathbb R ，称 \alpha 是 S 的最小上界，记作 \alpha=\sup S ，当且仅当，对于任意的S的上界 \beta ，都有 \beta≥\alpha 。并且 \alpha 是 S 的上界。
最小上界公理：设 S⊆\mathbb R∧S≠\mathbb ∅ ，若 S 存在上界，则 S 存在唯一的最小上界。
第二部分：构造实数
戴德金分割 ：称 \mathbb Q 的非空真子集 E 为戴德金分割，当且仅当，集合 E 满足如下性质：
(I) ∀q_1∈E∀q_2∈\mathbb Q-E(q_1<q_2)
(II) ∀q_1∈E∃q_2∈E(q_1<q_2)
实数集 ：定义集合 \mathbb R=\left\{ x:x是\mathbb Q的戴德金分割 \right\} ，称 \mathbb R 的元素为 实数 。
因此实际上这里的“实数”与“戴德金分割”是同义词，但我感觉定义说有理数集的非空真子集是实数怪怪的。
实际上戴德金分割的定义中的性质(I)可以重新表述为(I)' ∀q_1∈E∀q_3∈\mathbb Q(q_3<q_1\Rightarrow q_3∈E)
这两种表述是等价的，证明如下：
(I)→(I)'：
任取 q_3∈\mathbb Q∧q_3<q_1 ，假定 q_3∉E ，则 q_3∈\mathbb Q-E ，根据(I)可知 q_1<q_3
那么根据有理数序的三歧性可知这是矛盾的。
(I)'→(I)：
任取 q_2∈\mathbb Q-E ，假定 q_1≥q_2 ，分两种情况讨论
当 q_1>q_2 时，根据(I)'可知 q_2∈E ，但这是矛盾的。
当 q_1=q_2 时，那么显然的 q_2∈E ，但这是矛盾的。
这就证明了等价性。
在我看来，戴德金分割实际上构成了一种挤压，这一点菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》说的很好，这种挤压迫使得到的新集合拥有了最小上界性，而有理数集本身就是有序域，于是就成为了实数集。
但戴德金分割的方法比起有理数的柯西序列来说，虽然更为的简单快捷，但没有那么贴近我们关于实数的直觉。
不过我感觉戴德金分割的方法十分的贴近最小上界性，实际上通过戴德金分割构造的实数集内的有理数点与原先的有理数集的一一对应靠的应该就是最小上界，有最小上界的戴德金分割就是有理数，没有最小上界的戴德金分割就是无理数。这里的最小上界是指在有理数集的情况。
无理数 ：称 E∈\mathbb R 为无理数，当且仅当， ¬∃p∈\mathbb Q-E∀q∈\mathbb Q-E(p≤q) 。
实数集上的有理点 ：对于任意的 r∈\mathbb Q ，定义有理点 E_r=\{x∈\mathbb Q:x<r\}
有理数 ：称 E∈\mathbb R 比例数，当且仅当，存在 r∈\mathbb Q 使得有理点 E_r=E
这样我们就完成了有理数域与实数域的有理点的一一对应，虽然实际上需要证明一下，但此处从略
实数的序 ：对于任意的 a,b∈\mathbb R ， a≤b 当且仅当 a⊆b
现在这部分还容易搞定，而接下来的就开始显得麻烦了，并且渐渐的脱离我们的直觉，而有理数的柯西序列一旦定义完毕，剩下的定义加减乘除简直一步到位，轻松快捷，但验证最小上界性则变得十分麻烦。
由于集合的包含关系是一个偏序，于是实数的序自动满足自反性、反对称性、传递性。
并且根据包含关系的性质易得三歧性
下面开始验证最小上界公理
最小上界公理 ：设 S⊆\mathbb R∧S≠\mathbb ∅ ，若 S 存在上界，则 S 存在唯一的最小上界。
证明：
设上界为 \beta ，令 \alpha=\bigcup S
由于 S 非空，而任意实数都是戴德金分割，蕴含了无穷的有理数，于是 \alpha 非空
对于任意的 x∈S ，可知有 x⊆\beta ，于是 \alpha⊆\beta ，故 \alpha≠\mathbb Q
因此是非空真子集，并且如果是实数，那么 \alpha 比任意的上界要小
任取 q_1∈\alpha∧q_2∈\mathbb Q-\alpha ，可知存在 x_1∈S 使得 q_1∈x_1 ，并且不存在 S 的元素含有 q_2 ，于是 q_2∉x_1 ，由于 x_1 是戴德金分割，于是可知 q_1<q_2 ，这证明了(I)
类似的，任取 q_1∈\alpha ，可知存在 x_1∈S 使得 q_1∈x_1 ，由于 x_1 是戴德金分割，于是可知存在 q_2∈x_1 使得 q_1<q_2 ，容易知道 q_2∈\alpha 。这证明了(II)
这样就证明了是戴德金分割，因此 \alpha∈\mathbb R
显然的， \alpha 是上界，由上可得是最小上界。
这就证明了存在性，下面论证唯一性。
任取两个最小上界 \alpha,\beta ，那么根据序的反对称性可知二者是等同的。
类似的，若是 S 是存在下界的非空实数子集，那么 S 存在最大下界，记作 \inf S ，可知当 \bigcap S 不存在最大元时， \inf S=\bigcap S ，当 \bigcap S 存在最大元时， \inf S=(\bigcap S)-\{\max\bigcap S\}
实数加法 ：对于任意的 a,b∈\mathbb R ， a+b=\left\{ x+y:x∈a∧y∈b \right\}
实数加法的封闭性 ：对于任意的 a,b∈\mathbb R ， a+b∈\mathbb R
证明：
实际上，根据集合论的外延公理可知加法运算的结果是唯一的
只需要验证是戴德金分割即可
显然的，这是非空集合，由于戴德金分割没有最大元，于是取其上界，两个上界相加得到的有理数必然的不属于a+b，于是是非空真子集
任取 x_1+y_1∈a+b ，可知存在 x_2>x_1∧x_2∈a ，类似有 y_2∈b
相加之后必然的是 x_1+y_1<x_2+y_2 ，这就证明了(II)
取 x_1∈a,y_1∈b ，任取 z<x_1+y_1∧z∈\mathbb Q ，那么 x_2=x_1-\frac{x_1+y_1-z}{2},y_2=y_1-\frac{x_1+y_1-z}{2}
要证明 z∈a+b ，首先易得 z=x_2+y_2
若 x_2<x_1,y_2<y_1 那么就可以得到
而这是显然的，这就证明了(I)'，根据(I)'与(I)的等价性就得到了实数加法的封闭性
加法交换律、结合律根据定义，依据有理数加法的性质可知是显然的。
实数的负运算 ：对于任意的 a∈\mathbb R ，若 a 是无理数，则定义 -a=\{-x:x∈\mathbb Q-a\} ，若 a 是有理数，那么存在有理点 a_r=a ，定义 -a=a_{-r} 。
实数减法 ：对于任意的 a,b∈\mathbb R ， a-b=a+(-b)
实数负运算的封闭性 ：对于任意的 a∈\mathbb R ， -a∈\mathbb R
证明：
当a为有理数时显然，当a为无理数时，-a显然的是非空真子集
任取-a的元素q，可知-q∈Q-a
任取Q的元素p使得p<q，则-p>-q，由于Q-a无上界，于是-p∈Q-a，这蕴含了p∈-a
这就证明了(I)'
任取-a的元素q，可知-q∈Q-a，取p>-q，由于Q-a无上界，于是p∈Q-a，这蕴含了-p∈-a
可-p<q
这就证明了(II)
减法运算只是负运算与加法运算的复合，于是可知减法运算也是封闭的。
加法逆元 ：对于任意的 a∈\mathbb R ，存在 b∈\mathbb R ，使得 a+b=E_0
证明：
令 b=-a ，有理数情况是显然的
对于无理数情况，可知是 a+b=\{x-y:x∈a∧y∈\mathbb Q-a\}
必然的，根据戴德金分割的性质，x<y，于是x-y<0
于是 a+b⊆E_0
反过来，取 z∈E_0
假定存在负有理数z，使得任意的 x∈a,y∈\mathbb Q-a 都有 x-y≠z
显然，只需要取 x_1∈a∧x_1-z∉a ，那么矛盾
（为什么可以这样呢？考虑在实数集上集合的上确界，必然的存在一个元素加上任意的正数都大于上确界，取这个元素与上确界之间的有理数，这个有理数加上k便不是a的元素了，当然如何把这个在实数集上的证明运送到有理数上，我暂时想不出来）
这就证明了逆元
加法保序性 ：对于任意的 a,b,c∈\mathbb R ，若 a<b ，则 a+c<b+c
证明：
需要证明 \left\{ x+z:x∈a∧z∈c \right\}⊆\left\{ y+z:y∈b∧z∈c \right\}
任取前者的元素 x+z ，由于 a⊆b ，于是 x∈b ，得证保序性
加法单位元 ：对于任意的 a∈\mathbb R ， a+E_0=a
证明：
需要证明 a=\left\{ x+y:x∈a∧y∈E_0 \right\}
对于后者，由于a的任何元素加上负数都会变得更小，于是后者是前者的子集
任取前者的元素x，根据戴德金分割的性质，必然存在z>x，必然的 x-z∈E_0 ，于是取 z+(x-z) ，这是后者的元素。
根据包含关系的反对称性可知相等。
第三部分：实数乘法
一步步走来，现在貌似只剩下正乘法保序性、乘法分配律、交换群的性质没有验证，现在我们首先定义正实数集与正乘法
正实数集 ： \mathbb R_+=\{x∈\mathbb R:x>E_0\}
实数的正乘法 ：对于任意的 a,b∈\mathbb R_+ ，定义 a\cdot b=\{r∈\mathbb Q:∃x∈(a-E_0)∃y∈(b-E_0)(r≤x×y)\}
正实数的倒数运算 ：对于任意的 a∈\mathbb R_+ ，定义 a^{-1} 为如下形式：
1.若 a 是有理数，则存在有理点 a_r=a ，定义 a^{-1}=a_{r^{-1}} 。
2.若 a 是无理数，且 a<E_1 ，则定义 a^{-1}=\{r∈\mathbb Q:∃x∈(E_1-a)(r≤\frac{1}{x})\}
3.若 a 是无理数，且 a>E_1 ，则定义 a^{-1}=\{r∈\mathbb Q:∃x∈(\mathbb Q-a)(r≤\frac{1}{x})\}
实数乘法 ：对于任意的 a,b∈\mathbb R ，定义 a×b 为如下形式：
1.当 a,b∈\mathbb R_+ 时， a×b=a\cdot b
2.当 a=E_0∨b=E_0 时， a\times b=E_0
3.当 a<E_0∧b<E_0 时， a\times b=-a\cdot(-b)
4.当 a>E_0∧b<E_0 时， a\times b=-(a\cdot(-b))
5.当 a<E_0∧b<E_0 时， a\times b=-(-a\cdot b)
实数的倒数运算 ：对于任意的 a∈\mathbb R∧a<E_0 ，定义 a^{-1}=-(-a)^{-1}
实数除法 ：对于任意的 a,b∈\mathbb R ，定义 a/b=a\times b^{-1}
下面，我们需要证明正乘法的封闭性、正倒数运算的封闭性、正乘法分配律、结合律、交换律，随后扩张至整个实数域乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律，以及保序性
但好麻烦，从略从略，老子是来玩的，不想麻烦！
现在只剩下最后一个目标，实数的序列极限
第四部分：实数的序列极限
定义：设 \{a_{n}\} 是无限实数序列， L∈\mathbb R ，称 \{a_n\} 收敛到 L ，记作 \lim_{n→∞}{a_n}=L ，当且仅当， ∀\epsilon>0∃m∈\mathbb N∀n≥m(|a_{n}-L|≤\epsilon)
还有一些想法，例如闭区间套定理的证明，借此用对角线证明实数的不可数性，但犯懒了，这整了我一夜好几个小时，不得不说数学真是浪费时间与熬夜的好东西。剩下的一些出于懒惰与无能，等有兴趣了再回来搞，现在进入沉睡时间，我要睡觉……