设函数f（x）的定义域为D， 区间 I包含于D。如果对于区间上任意两点x ₁ 及x ₂ ，当x ₁ <x ₂ 时，恒有f（x ₁ ）<f（x ₂ ），则称函数f（x）在区间I上是单调 递增 的；如果对于区间I上任意两点x ₁ 及x ₂ ，当x ₁ <x ₂ 时，恒有f（x ₁ ）>f（x ₂ ），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为 单调函数 ^{，则 f （ x ）为 偶函数 。}

几何上，一个偶函数关于 y 轴对称，亦即其图在对 y 轴映射后不会改变。

偶函数的例子有| x |、 x ² 、cos（ x ）和cosh（ x ）。

偶函数不可能是个双射映射 ^{也是f（x）的周期；}

（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍；

（5）T*是f（x）的最小正周期，且T1、T2分别是f（x）的两个周期，则T1/T2∈Q（Q是有理数集）；

（6）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期；

（7）周期函数f（x）的定义域M必定是双方无界的集合。

函数 连续性

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

设 f 是一个从 实数集 的子集射到 的函数：f在中的某个点 c 处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：

f 在点 c 上有定义。 c是其中 的一个 聚点 ，并且无论自变量 x 在中以什么方式接近 c ， f （ x ） 的 极限 都存在且等于 f （ c ）。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的 子集 上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。

不用极限的概念，也可以用下面所谓的方法来定义实值函数的连续性。

仍然考虑函数。假设 c 是 f 的定义域中的元素。函数 f 被称为是在 c 点连续 当且仅当 以下条件成立：

对于任意的正实数，存在一个 正实数 δ> 0 使得对于任意定义域中的δ，只要 x 满足 c - δ< x < c + δ，就有成立 ^{），称y是x的 正比例函数 。}

基本性质：

1、在 正比例函数 时，x与y的商一定（x≠0）。在 反比例函数 时，x与y的积一定。

在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少km。

2、当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的 纵坐标 ，该点的坐标为（0，b）；当y=0时，一次函数图像与x轴相交于（﹣b/k）

3、当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。

4、在两个一次函数表达式中：

当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；

当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；

当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；

当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；

当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。

5、两个一次函数（y1=k1x+b1,y2=k2x+b2）相乘时（k≠0），得到的的新函数为二次函数，

该函数的 对称轴 为－（k2b1+k1b2）/（2k1k2）；

当k1,k2正负相同时，二次函数开口向上；

当k1,k2正负相反时，二次函数开口向下。

二次函数与y轴交点为（0，b2b1）。

6、两个一次函数（y1=ax+b,y2=cx+d）之比，得到的新函数y3=（ax+b）/（cx+d）为反比例函数，渐近线为x=－b/a，y=c/a。

7、当 平面直角坐标系 中两直线平行时，其 函数解析式 中k的值（即一次项系数）相等；当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为 负倒数 （即两个k值的乘积为-1）。

图像：

一次函数的图像

如右图所示，一次函数y=kx+b（k≠0）图像是直线，过（0，b）和（-b/k，0）两点。特别地，当b=0时，图像过原点。

一次函数和方程的联系与区别:

1、一次函数和一元一次方程有相似的表达形式。

2、一次函数表示的是一对（x，y）之间的关系，它有无数对解；一元一次方程表示的是未知数x的值，最多只有1个值 。

3、一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的 一元一次方程 的根。

一次 函数和不等式:

从函数的角度看，解 不等式 的方法就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围的一个过程；

从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。

对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（-b/k,0）。

当k>0时，不等式kx+b>0的解为：x>- b/k，不等式kx+b<0的解为：x<- b/k；

当k<0的解为：不等式kx+b>0的解为：x<- b/k，不等式kx+b<0的解为：x>- b/k

函数 三角函数

三角函数是数学中属于初等函数中的 超越函数 的一类函数。它们的本质是 任意角 的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的 三角函数 是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在 直角三角形 中，但并不完全。现代数学把它们描述成 无穷数列 的极限和微分方程的解，将其定义扩展到 复数 系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数（Trigonometric）也是常用的工具。

它有六种基本函数： 正弦函数 ， 余弦函数 ， 正切函数 ， 余切函数 ， 正割函数 和 余割函数

函数 常数函数

常数函数 （也称常值函数）是指值不发生改变（即是 常数 ）的函数。例如，我们有函数 f（x）=4 ，因为 f 映射 任意的值到4，因此 f 是一个常数。更一般地，对一个函数 f: A→B ，如果对 A 内所有的 x 和 y ，都有 f（x）=f（y） ，那么， f 是一个常数函数

函数 定义

复变函数是定义域为复数集合的函数。

复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次 代数方程 的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这 类数 不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是 复变函数论 。 解析函数 是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为 解析函数论

函数 复变函数的发展简况

复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由 复变函数 的积分导出的两个 方程 。而比他更早时，法国数学家 达朗贝尔 在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔- 欧拉方程 ”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“ 柯西-黎曼条件 ”。

复变函数论的全面发展是在十九世纪，就象微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。

后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家 维尔斯特拉斯 。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。

复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过 复变函数 来解决的。

比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。

复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、 概率论 和数论等学科，对它们的发展很有影响

函数 复变函数的内容

复变函数论主要包括单值解析函数理论、 黎曼曲面 理论、几何函数论、 留数 理论、广义解析函数等方面的内容。

如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数， 多项式 就是这样的函数。

复变函数也研究 多值函数 ，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的 单值 枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的 黎曼曲面 ，那么，函数在离曼曲面上就变成 单值函数 。

黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。 导数 处处不是零的 解析函数 所实现的映象就都是共形映象，共形映象也叫做保角变换。共形映象在流体力学、 空气动力学 、 弹性理论 、 静电场 理论等方面都得到了广泛的应用。

留数 理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做 残数 ，它的定义比较复杂。应用留数理论对于 复变函数 积分的计算比起 线积分 计算方便。计算实变函数 定积分 ，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部 孤立奇点 上求留数的计算，当奇点是 极点 的时候，计算更加简洁。

把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做 广义解析函数 。广义解析函数所代表的 几何图形 的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。

广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，自2002年来这方面的理论发展十分迅速。

从 柯西 算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。2002年，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用