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- 在满足什么条件的情况下，信号可以通过压缩感知进行压缩并恢复？
注意与说明：
为了方便理解，在此篇内容中我们假设稀疏域是傅里叶变换，下面的图也都是用傅里叶频谱图画的，实际使用中只要找到符合要求的系数域即可。
1 要求1：稀疏
关于感兴趣的信号，压缩感知在压缩过程（也就是感知过程中）所表达的意思为：连续时间信号的信息率可能比根据其带宽所建议的小得多，离散时间信号所依赖的自由度的数量比它的长度少得多。可以说，许多自然界的信号在某种程度上都是稀疏的或可压缩的，当以合适的基
X
=
Ψ
Y
对这个稀疏表示进行随机采样的过程就可以理解为如下图例形式（为什么是这个形式可以参考之前的内容
【压缩感知合集4】理想采样信号和随机采样信号两种采样信号的频谱分析，以及采样效果比较
）
1.2 稀疏性与恢复的关系画图分析
稀疏域上的随机采样
可以被恢复的信号压缩感知举例分析
由于原信号的频率非零值在随机采样后的频域中依然保留较大的值，其中较大的两个可以通过设置阈值，检测出来（图a）。然后，假设信号只存在这两个非零值（图b），则可以计算出由这两个非零值引起的干扰（图c）。用a减去c，即可得到仅由蓝色非零值和由它导致的干扰值(图d），再设置阈值即可检测出它，得到最终复原频域（图e）。如果原信号频域中有更多的非零值，则可通过迭代将其一一解出。
当以比奈奎斯特采样频率要求的采样密度更稀疏的密度对信号进行随机采样的时候，由于频谱是均匀泄露的，而不是整体延拓的，因此可以对稀疏的频谱通过特别的追踪方法将原信号恢复。（不稀疏就分不出来了）
1.3 稀疏性要求的逻辑分析
正因为在稀疏可以足够的稀疏（也可以理解为仅有少数个不同位置上的能量表示与常见值有较大的差异），才可能在之后的被采样后的稀疏域上，保留这种差异，从而最后通过恢复这些特殊点位能量表示。
y k 都会在随机采样信号的作用下产生一个频谱泄露。因为随机采样信号的频谱入如上图中间的例子，一个主峰冲击在和稀疏域也就是频域卷积的时候不会出现频谱搬移，但是其他地方的小毛刺会带来一定量比较随机的频谱泄露。
如果变换域表示下不稀疏的点足够多的话，主峰对每一个有能量的 y k 系数的频谱泄露中，难以被定位识别恢复出来。
1.4 注意补充
-
对于之前讲的例子，如果它在频域中不稀疏，我们可以做
DWT、DCT等，找到它的稀疏变换。 -
这里针对信号的稀疏性和信号压缩额外补充一下：其实，信号的稀疏性已经在图像压缩领域有了很广泛的应用。利用信号的稀疏性，可以对信号进行压缩。如图像压缩领域的
JPEG格式，就是将图像变换到离散余弦域，得到近似稀疏矩阵，只保留较大的值，从而实现压缩。这里需要指出，图像压缩和压缩感知这两个概念很容易弄混，大家一定要分清。它们其实有着本质上的区别。图像压缩是先进行了 全采样 ，然后再变换域丢弃小系数，完成压缩；而压缩感知不同，它的思想其实从图像压缩中借鉴了很多：既然全采样了还要再丢弃，我们为什么不能直接少采样一些点？因此，压缩感知直接进行了 亚采样 ，然后再用算法消除亚采样导致的伪影。可以说，压缩感知 直接在采样时就完成了压缩 。
2 要求2：
RIP
条件和矩阵不相关：
2.1 前情介绍
理解这个不相关要求需要回顾一下之前的数学模型（ 【压缩感知合集5】压缩感知简介和数学模型分析 ）
压缩感知数学模型重新写一遍如下
\boldsymbol{A} =\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{X} = \boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{\Psi} \boldsymbol{Y} = \boldsymbol{\Theta}\boldsymbol{Y}
A
=
Φ
X
=
Φ
Ψ
Y
=
Θ
Y
2.2
RIP
条件
RIP
条件：有限等距性质（Restricted Isometry Property，RIP）（关于
RIP
我后面会再写一篇blog，再详细讲一下这个内容，这里主要先把条件逻辑和压缩感知理解清楚）
针对于2.1中的 \min \left\| \boldsymbol{\Psi}^{T} \boldsymbol{X}\right\|_{0} \\s.t. \boldsymbol{\Theta} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{\Psi}\boldsymbol{X}= \boldsymbol{A} min ∥ ∥ ∥ Ψ T X ∥ ∥ ∥ 0 s . t . Θ X = Φ Ψ X = A
RIP
条件的数学表达：
\boldsymbol{A} =\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{X} = \boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{\Psi} \boldsymbol{Y} A = Φ X = Φ Ψ Y
\mu(\boldsymbol{\Phi}, \boldsymbol{\Psi})=\sqrt{n} \cdot \max _{1 \leq k, j \leq n}\left|\left\langle \boldsymbol{\phi}_{k}, \boldsymbol{\psi}_{j}\right\rangle\right| μ ( Φ , Ψ ) = n ⋅ 1 ≤ k , j ≤ n max ∣ ∣ ⟨ ϕ k , ψ j ⟩ ∣ ∣
陶哲轩和Candès又证明： 独立同分布的高斯随机测量矩阵可以成为普适的压缩感知测量矩阵。
于是满足高斯分布的随机测量矩阵就成了CS最常用的观测矩阵。
对于二维信号，往往就采用如右上图所示的采样矩阵对图像进行随机采样。
对于一维信号，采用前文提到的随机不等间距的亚采样即可。
压缩感知理论对于测量矩阵有两个主要的分类：
-
第一类为
随机测量系，已证明大多数随机矩阵都满足RIP条件，如高斯随机测量系和伯努利随机测量系。在某种意义上，选择随机测量对于稀疏矩阵来讲是一种最佳策略，只需要几乎最少的测量 0 压缩感知的理论依据前言主要想讲清楚的问题是：为什么压缩感知在随机采样的情况下可以对信号进行恢复？其实这个问题也可以换一个方式理解：在满足什么条件的情况下，信号可以通过压缩感知进行压缩并恢复？注意与说明：为了方便理解，在此篇内容中我们假设稀疏域是傅里叶变换，下面的图也都是用傅里叶频谱图画的，实际使用中只要找到符合要求的系数域即可。1 要求1：稀疏关于感兴趣的信号，压缩感知在压缩过程（也就是感知过程中）所表达的意思为：连续时间信号的信息率可能比根据其带宽所建议的小得多，离散时间信号所 最近因为科研 需要 ，又开始重新研究 压缩 感知 （CS）与 稀疏 恢复 （SR）理论。本人系初学，很多东西都没有学明白，姑且先摸着石头过河，仿照网上的例子，用matlab编程实现最基本的例子，写下了这篇笔记。 关于 压缩 感知 与 稀疏 恢复 的原理就不再赘述，网上有很多博主写的很详细，这里推荐https://zhuanlan.zhihu.com/p/22445302 这篇文章原理写的通俗易懂。本文在这篇文章的基础上结 合 https://blog.csdn.net/xiahouzuoxin/article/details/RIP 简介 RIP 是Routing Information Protocol（路由信息协议）的简称，它是一种较为简单的内部网关协议（Interior Gateway Protocol）。 RIP 是一种基于距离矢量（Distance-Vector）算法的协议，它使用跳数（Hop Count）作为度量来衡量到达目的网络的距离。 RIP 通过UDP报文进行路由信息的交换，使用的端口号为520。 RIP 包括...http://blog.csdn.net/zouxy09 上一回粗略的引入了 压缩 感知 。 http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/8118313 下面就针对自己的了解，具体总结下 压缩 感知 理论。由于自己也是 public static void main(String[] args) { // 稀疏 矩阵 如下 int[][] sparseArr= {{11,11,2},{1,2,1},{2,3,2}}; // 稀疏 矩阵 的行数 in...针对 压缩 感知 理论在宽带频谱 感知 领域应用时重构精度差的问题，根据平稳 信号 在频域所表现出的 稀疏 特 性 ，提出了一种基于P-IFourier（partial-inverse Fourier）观测 矩阵 的宽带 压缩 频谱 感知 方法。新方法首先将频谱 感知 问题建模为一个典型的 压缩 感知 问题，利用 相关 性 能优良的标准正交傅里叶基构造观测 矩阵 ，使观测 矩阵 具有良好的重构 性 能和重构精度。仿真结果表明，相比于高斯随机观测 矩阵 和嵌入式混沌序列—循环Toeplitz结构观测 矩阵 ，该方法在较低信噪比环境下能够明显降低 信号 重构的均方误差，并且在相同 条件 下的重构概率得到了明显改善。压缩 感知 初步理解一、什么是 压缩 感知 （CS）二、完美重构的 条件 （不 相关 性 与 RIP ）三、 压缩 感知 的数学表示四、观测 矩阵 选择五、当前常用重构算法分类六、 稀疏 基 矩阵 转自：(https://zhuanlan.zhihu.com/p/22445302) 初步接触 压缩 感知 ，以此记录学习过程~ 一、什么是 压缩 感知 （CS） 概括 性 描述：如果一个 信号 在某个变换域是 稀疏 的，便可用一个与变换基不 相关 的观测 矩阵 将变换所得的高维 信号 投影到一个低维空间上，然后通过求解一个优化问题，从少量的投影中以高概率重构原 信号 。 其提出是基于对奈奎题目： 压缩 感知 测量 矩阵 之有限等距 性 质（Restricted Isometry Property, RIP ） 阅读 压缩 感知 的文献， RIP 绝对是一个抬头不见低头见的英文简写，也就是有限等距 性 质（Restricted Isometry Property, RIP ），尤其是研究测量 矩阵 的童鞋们，这是一个几乎绕不开的术语，所以在测量 矩阵 这一块首先讨论一下 RIP 。 一、 RIP 的定义一、 RIP 简介 RIP 是Routing Information Protocol（路由信息协议）的简称，它是一种较为简单的内部网关协议（Interior Gateway Protocol） RIP 是一种基于距离矢量（Distance-Vector）算法的协议，它使用跳数（Hop Count）作为度量来衡量到达目的网络的距离。设备到与他直连网络的设备跳数为0，然后每经过一个三层设备跳数增加1，也就是度量值等于从本网络到达目网络间的三层设备数量，但并不等于所经过的网段数 RIP 通过UDP报文进行路由信息的
2.5 关于满足这个条件的测量矩阵
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