|
|
方法简介
播报
编辑
人们常常需要根据手中的数据，分析或推断数据反映的本质规律。即根据样本数据如何选择统计量去推断总体的分布或数字特征等。统计推断是数理统计研究的核心问题。所谓统计推断是指根据样本对总体分布或分布的数字特征等作出合理的推断。它是
统计推断
的一种基本形式，是
数理统计学
的一个重要分支，分为
点估计
和区间估计两部分。
[2]
在已知
系统模型
结构时，用系统的输入和输出数据计算系统模型参数的过程。18世纪末德国数学家C.F.高斯首先提出参数估计的方法，他用
最小二乘法
计算天体运行的轨道。20世纪60年代，随着电子计算机的普及，参数估计有了飞速的发展。参数估计有多种方法，有矩估计、
极大似然法
、一致最小方差无偏估计、
最小风险估计
、同变估计、最小二乘法、贝叶斯估计、极大验后法、最小风险法和极小化极大熵法等。最基本的方法是最小二乘法和极大似然法。
标准特点
播报
编辑
（1）无偏性
无偏性是指估计量抽样分布的数学期望等于总体参数的真值。无偏性的含义是，估计量是一随机变量，对于样本的每一次实现，由估计量算出的估计值有时可能偏高，有时可能偏低，但这些估计值平均起来等于总体参数的真值。在平均意义下，无偏性表示没有系统误差。
（2）有效性
（3）一致性
一致性，又称相合性，是指随着样本容量的增大，估计量愈来愈接近总体参数的真值
[3]
。
性质
播报
编辑
公式1
主要分类
播报
编辑
点估计
点估计
(
point estimation
)
是依据样本估计总体分布中所含的未知参数或未知参数的函数。通常它们是
总体
的某个特征值，如数学期望、
方差
和
相关系数
等。点估计问题就是要构造一个只依赖于
样本
的量，作为未知参数或未知参数的函数的估计值。例如，设一批产品的
废品率
为θ。为估计θ，从这批产品中随机地抽出n个作检查，以X记其中的废品个数，用X/n估计θ，这就是一个点估计。
构造点估计常用的方法是：
①
矩估计
法。用样本矩估计总体矩，从而得到总体分布中参数的一种估计。它的思想实质是用样本的经验分布和样本矩去替换总体的分布和总体矩。矩估计法的优点是简单易行, 并不需要事先知道总体是什么分布。缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息。一般场合下，矩估计量不具有唯一性。
④贝叶斯估计法。基于贝叶斯学派(见贝叶斯统计)的观点而提出的估计法。可以用来估计未知参数的估计量很多，于是产生了怎样选择一个优良估计量的问题。首先必须对优良性定出准则，这种准则是不唯一的，可以根据实际问题和理论研究的方便进行选择。优良性准则有两大类：一类是小样本准则，即在样本大小固定时的优良性准则；另一类是大样本准则，即在样本大小趋于无穷时的优良性准则。最重要的小样本优良性准则是无偏性及与此相关的一致最小方差无偏估计，其次有容许性准则，最小化最大准则，最优同变准则等。大样本优良性准则有相合性、最优渐近正态估计和渐近有效估计等
[3]
。
区间估计
区间估计
(
interval estimation
)
是依据抽取的样本，根据一定的正确度与精确度的要求，构造出适当的区间，作为总体分布的未知参数或参数的函数的真值所在范围的估计。例如人们常说的有百分之多少的把握保证某值在某个范围内，即是区间估计的最简单的应用。1934年统计学家 J.奈曼创立了一种严格的区间估计理论。求
置信区间
常用的三种方法：
①利用已知的
抽样分布
。例如，设x1,x2，…，xn为正态总体N（μ，σ2）中抽出的样本，要作μ的区间估计，则服从自由度为n-1的t分布。指定α>0，找这个分布的上α/2
分位数
tα/2(n-1），则有即由此得到 μ 的一个置信系数为 1-α 的置信区间。
②利用区间估计与
假设检验
的联系。设要作θ的置信系数为1－α 的区间估计，对于任意的θ0，考虑原假设为 H：θ=θ0，备择假设为 K：θ≠θ0。设有一水平为α 的检验，它当样本X属于集合A( θ0）时接受H。若集合{θ0∶X∈A（θ0)}是一个区间，则它就是θ的一个置信区间，其置信系数为1-α。就上例而言，对假设H：μ=μ0的检验常用t检验：当时接受μ=μ0，集合即为区间。这正是前面定出的μ的置信区间。若要求θ的置信下限（或上限），则取原假设为θ≤θ0（或θ≥θ0），备择假设为θ>；θ0（或θ<；θ0），按照同样的方法可得到所要求的置信下（上）限。
③利用大样本理论。例如，设x1,x2，…，xn为抽自参数为p的二点分布的样本，当n→∞时，依分布收敛（见
概率论中的收敛
）于
标准正态分布
N(0,1），以 uα/2记N (0，1）的上 α/2
分位数
。所以，可作为p的一个区间估计，上面的
极限值
1－α就定义为它的渐近置信系数。
评价置信区间的好坏有两个因素：一是其精度，可以用区间的长度来刻画，长度越长，精度越低。另一个因素是置信度，在样本容量固定时，当置信度增大，此时置信区间的长度变大，即置信区间的置信度越高，则精度越低，反之，精度越高则置信度越低。
[3]
递推参数估计
公式3
最小二乘法和极大似然法都有递推形式，另外还有递推广义最小二乘法、递推辅助变量法和递推增广最小二乘法等，都是递推最小二乘法的改进形式，
公式4
公式5
统计推断
播报
编辑
参数估计与假设检验
这样可以看出，参数估计是假设检验的第一步，没有参数估计，也就无法完成假设检验
[3]
。
