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- 中文名
- 指数
- 外文名
- exponential [2]
- 归属学科
- 数学
- 基本释义
- 幂运算aⁿ中的a的次数
- 书 写
- 指数位于底数的右上角
- 出现在
- 幂运算;指数函数
定义
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指数是幂运算aⁿ(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角。
当指数
时，
当指数
，且n为整数时，
当指数
时，
当指数
时，称为平方
当指数
时，称为立方
指数函数
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一般地，形如
(
且
)(
)的函数叫做指数函数(exponential function) ，也就是说以指数为
自变量
，底数为大于0且不等于1的
常量
的函数称为指数函数，它是
初等函数
中的一种。
指数函数图像如图1所示：
图1
故事
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复利就是将本金按一定利息存入银行，到期将利息计入本金继续存入银行，本利不断增加。如果本金为
，年利息率为
，
年后可以从银行取出的钱为
。一般年利率
不会超过15%，而指数项，即存入银行的年限
却增长很快，当
足够大时，本利相加会达到极其大的值。纽约曼哈顿地区是早期移民以价值200美元的珠宝从印地安人手中买下的，如果当初将200美元存入银行，至今本息比曼哈顿的全部房产价值还要高。如果存入银行1000元，年利率5%，若计复利的话，那么200年后的便可以从银行取到
元，即
元。
传说在古印度有位国王要赏赐一位宰相，就问宰相想要什么，宰相拿出一张国际象棋的棋盘。笑着说，我只求您给我一些麦粒，在第一个格子里放一粒（
），第二格子里放两粒（
），第三个格子里放四粒（
），也就是第
个格子里放
粒，直到每个格子的麦粒放好．国王以为这太简单了，就爽快地答应了。可是等到真要执行这个诺言时国王却不得不反悔了．这是为什么呢？国际象棋棋盘共有64个格，按宰相的要求总共需要的麦粒数为
等比数列
的和，即为
粒。若1公斤麦粒5万粒，那么总共需要的麦粒为
吨。这些麦粒也许把全国的麦子全拿来都不够，国王怎么可能答应呢？
不管是复利的可怕还是宰相的狡猾，都是因为其中含有共同的关键因素——指数项
，是指数项
的奇妙作用，使得看似简单的事情令人吃惊。
[1]
发展历程
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指数与幂的概念的形成是相当曲折和缓慢的指数符号( Sign of power) 的种类繁多，且记法多样化。
中国古代“幂”字至少有十各不同的写法。
《准南子·天文训》讲到乐律，有这样几句话：“故黄钟之律九寸，而宫音调；因而九之，九九八十一，故黄钟之有选举权立焉......十二各以三成，故置一而十一三之，为积分十七万七千一百四十七，黄钟大数立焉。”可翻译如下：发出黄钟音律的管长 9寸，它的音调叫作宫。用 9 去乘它得81。81 这个数叫作黄钟数。12 律的每一个是根据三分损益这个原则造成的。所以将 3 乘了11次，得到的积，分管长 177147等份，这177147 叫作黄钟大数，以别于黄钟数81。很明显，“置一而十一三之”就是乘方运算，11 就是指数。整句话包含式子
，具有指数的初步概念。
至十七世纪，具有“现代”意义的指数符号才出现。最初的，只是表示未知数之次数，但并无出现未知量符号。比尔吉则把罗马数字写于系数数字之上，以表示未知量次数。其后，开普勒等亦采用了这符号。罗曼斯开始写出未知量的字母。1631 年，哈里奥特( 1560-1621) 改进了韦达的记法，以 aa表示
, 以aaa 表示
。1636 年，居于巴黎的苏格兰人休姆( James Hume) 以小罗马数字放于字母之右上角的方式表达指数，如以
表示
，该表示方式除了用的是罗马数字外，已与指数表示法相同。
笛卡儿
( 1596-1650) 以较小的印度阿拉伯数字放于右上角来表示指数，是现今通用的指数表示法。
[1]
