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范畴 是由以下两种成分组成的结构:
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一些箭头, 称为 态射 . 每个箭头从一个对象出发, 指向另一个对象. |
在范畴中, 首尾相连的箭头可以 复合 而得到新的箭头, 正如 集合 间的 映射 可以复合而得到新的映射.
范畴常用来描述某一类数学对象及其间的映射全体. 例如, 集合范畴 由所有 集合 和它们之间的 映射 组成, 也就是说, 该范畴的对象为所有的集合, 而态射为集合间的映射; 向量空间范畴 由所有 向量空间 和它们之间的 线性映射 组成; 如此等等.
范畴是 幺半群 的 胚化 . 可以看出, 范畴与幺半群的定义十分相似, 只是在范畴中允许有多个对象.
研究范畴的学科称为 范畴论 . 范畴论在数学的几乎所有分支中都发挥了重要作用. 另一方面, 当代范畴论提出了范畴的若干推广, 其中最著名的包括 ∞ -范畴 的概念, 及由此引出的 高阶代数 、 高阶几何 等学科. 这套全新的范畴论为当代数学的发展提供了巨大动力.
1 定义
定义 1.1 (范畴) . 范畴 C 由下列信息组成:
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对任意 x , y ∈ Ob ( C ) , 有一个 集合 C ( x , y ) , 其元素称为从 x 到 y 的 态射 . |
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对任意 x ∈ Ob ( C ) , 有一个元素 1 x ∈ C ( x , x ) , 称为 x 的 恒同态射 . |
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对任意 x , y , z ∈ Ob ( C ) , 有一个映射 ∘ : C ( x , y ) × C ( y , z ) ( f , g ) → C ( x , z ) , ↦ g ∘ f , 称为 复合 , |
并满足以下两条公理:
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( 单位律 ) 对任意 x , y ∈ Ob ( C ) , 及任意 f ∈ C ( x , y ) , 有 1 y ∘ f = f = f ∘ 1 x . |
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( 结合律 ) 对任意 x , y , z , w ∈ Ob ( C ) , 及任意 f ∈ C ( x , y ) , g ∈ C ( y , z ) , h ∈ C ( z , w ) , 有 ( h ∘ g ) ∘ f = h ∘ ( g ∘ f ) , 故可记之为 h ∘ g ∘ f , 而不产生歧义. |
我们常使用以下记号:
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如果 x ∈ Ob ( C ) , 我们简记为 x ∈ C . |
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如果 f ∈ C ( x , y ) , 我们也记 f : x → y , 或者 x f y . |
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C 中所有态射构成的类常常记为 Mor ( C ) . |
2 例子
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某一类数学对象的全体通常构成范畴, 例如:
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小范畴 C 到范畴 D 之间所有 函子 和它们之间的 自然变换 构成一个范畴 Fun ( C , D ) , 称为 函子范畴 . |
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所有 小范畴 及其间的 函子 构成 范畴的范畴 Cat . 虽然它确实是范畴, 但这一范畴结构是不自然的, 因为函子相等、 范畴同构 的概念并不自然, 而 自然同构 、 范畴等价 的概念才是自然的. 因此, Cat 应视为 2 -范畴 ; 详细讨论见 范畴的范畴 一文. |
3 相关概念
范畴 • 英文 category • 德文 Kategorie ( f ) • 法文 catégorie ( f ) • 拉丁文 categoria ( f ) • 古希腊文 κατηγορία ( f )