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- 出生日期
- 1845年3月3日
- 逝世日期
- 1918年1月6日
- 毕业院校
- 苏黎世大学
- 职 业
- 数学家
- 主要成就
- 集合论和超穷数理论
- 信 仰
- 基督教
- 代表作品
- 《一般集合论基础》
生平简介
播报
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1870年康托尔
1862年入苏黎世大学学习工科，翌年转入
柏林大学
攻读数学和神学，受教于
库默尔
（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14）、
魏尔斯特拉斯
（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和
克罗内克
(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年曾去
哥廷根
学习一学期。1867年，在
库默尔
指导下以解决一般整系数
不定方程
ax
2
+by
2
+cz
2
=0求解问题的论文获博士学位。毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。他在哈雷大学任教（1869-1913年）的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理
数列极限
定义无理数。1872年成为该校副教授，1879年任教授。由于学术观点上受到的沉重打击，康托尔曾一度患
精神分裂症
，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。
康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立。除此之外，他还努力探讨在
新理论
创立过程中所涉及的数理哲学问题。1888-1893年，康托尔任
柏林
数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。
主要贡献
播报
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综述
两千多年来，科学家们接触到无穷，却又无力去把握和认识它，这的确是向人类提出的尖锐挑战。康托尔以其思维之独特、想象力之丰富、方法之新颖绘制了一幅人类智慧的精品——集合论和超穷数理论，令19、20世纪之交的整个数学界、甚至哲学界感到震惊。可以毫不夸张地说“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。”
集合论的建立
康托尔是在寻找函数展开为
三角级数
表示的
唯一性
判别准则
的工作中，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。早在1870年和1871年，康托尔两次在《
数学杂志
》上发表论文，证明了函数
f(x)
的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立。1872年他在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个定理的推广》的论文，把唯一性的结果推广到允许
例外值
是某种无穷的集合情形。为了描述这种集合，他首先定义了
点集
的
极限点
，然后引进了点集的
导集
和导集的导集等有关重要概念。这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。以后，他又在《数学年鉴》和《数学杂志》两刊上发表了许多文章。他称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能意识到并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。他还指出，如果一个集合能够和它的一部分构成
一一对应
，它就是无穷的。他又给出了开集、闭集和
完全集
等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。
超穷数理论的建立
《一般集合论基础》（以下简称《基础》）在数学上的主要成果是引进超穷数，在具体展开这一理论的过程中，康托尔应用了以下几条原则：
第二生成原则
：任给一个其中无最大数的序列，可产生一个作为该序列极限的新数，它定义为大于此序列中所有数的后继数。
第三（限制）原则：保证在上述超穷序列中产生一种自然中断，使第二数类有一个确定极限，从而形成更大数类。
反复应用三个原则，得到超穷数的序列
ω，ω1，ω2，…
利用先前引入的集合的势的概念，康托尔指出，第一数类（Ⅰ）和第二数类（Ⅱ）的重要区别在于（Ⅱ）的势大于（Ⅰ）的势。在《基础》的第十三章，康托尔第一次指出，数类（Ⅱ）的势是紧跟在数类（Ⅰ）的势之后的势。
在《基础》中，康托尔还给出了
良序集
和无穷
良序
集编号的概念，指出整个超穷数的集合是良序的，而且任何无穷良序集，都存在唯一的一个第二数类中的数作为表示它的顺序特性的编号。康托尔还借助良序集定义了超穷数的加法、乘法及其
逆运算
。
《对超穷数论基础的献文》是康托尔最后一部重要的数学著作，经历了20年之久的艰苦探索，康托尓希望系统地总结一下超穷数理论严格的
数学基础
。《献文》分两部分，第一部分是“
全序
集合的研究”，于1895年5月在《数学年鉴》上发表。第二部分于1897年5月在《数学年鉴》上发表，是关于“良序集的研究”。《献文》的发表标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论。但是，由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些
证明方法
如不给予适当的限制便会导出悖论，所以康托尔的集合论通常成为
古典集合论
或
朴素集合论
。
康托尔的遭遇
播报
编辑
由康托尔首创的全新且具有划时代意义的集合论，是自古希腊时代的二千多年以来，人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式
符号系统
和确定的运算，它从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改造了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、
代数拓扑
、群论和
泛函分析
等理论的基础，还给逻辑和哲学带来了深远的影响。不过康托尔的集合论并不是完美无缺的，一方面，康托尔对“
连续统假设
”和“良序性定理”始终束手无策；另一方面，19和20世纪之交发现的布拉利－福蒂悖论、
康托尔悖论
和
罗素悖论
，使人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑。加之集合论的出现确实冲击了传统的观念，颠覆了许多前人的想法，很难为当时的数学家所接受，遭到了许多人的反对，其中反对的最激烈的是
柏林学派
的代表人物之一、构造主义者
克罗内克
。克罗内克认为，数学的对象必须是可构造出来的，不可用有限步骤构造出来的都是可疑的，不应作为数学的对象，他反对无理数和连续函数的理论，同样严厉批评和恶毒攻击康托尔的无穷集合和
超限数
理论不是数学而是
神秘主义
。他说康托尔的集合论空空洞洞毫无内容。除了克罗内克之外，还有一些著名数学家也对集合论发表了
反对意见
。法国数学家
庞加莱
（Poincare，J ules Henri,1854.4.29－1912.7.17）说：“我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”。他把集合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，并且预测说：“后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了”。德国数学家
外尔
（Weyl，Claude Hugo Hermann,1885.11.9－1955.12.8）认为，康托尔关于基数的等级观点是“雾上之雾”。
克莱因
（Klein，Christian Felix，1849.4.25－1925.6.22）也不赞成集合论的思想。数学家H．A．
施瓦兹
原来是康托尔的好友，但他由于反对集合论而同康托尔断交。集合论的悖论出现之后，他们开始认为集合论根本是一种病态，他们以不同的方式发展为
经验主义
、半经验主义、
直觉主义
、构造主义等学派，在基础大战中，构成反康托尔的阵营。
1884年，由于连续统假设长期得不到证明，再加上与克罗内克的尖锐对立，精神上屡遭打击，5月底，他支持不住了，第一次
精神崩溃
。他精神沮丧，不能很好地集中研究集合论，从此深深地卷入神学、哲学及文学的争论而不能自拔。不过每当他恢复常态时，他的思想总变得超乎寻常的清晰，继续他的集合论的工作。
康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说首先在
瑞士
苏黎世
召开的第一届
国际数学家大会
上表现出来。瑞士苏黎世理工大学教授
胡尔维茨
（Hurwitz，Adolf，1859.3.26－1919.11.18）在他的
综合报告
中，明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用，这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学，而是真正对数学发展起作用的理论工具。在分组会上，法国数学家
阿达玛
（Hadamard Jacques，1865.12.8－1963.10.17）也报告康托尔对他的工作的重要作用。随着时间的推移，人们逐渐认识到集合论的重要性。
希尔伯特
(Hilbert David，1862.1.23-1943.2.14)高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹
智力活动
的最高成就之一”，“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二届国际数学家大会上，
希尔伯特
高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的
连续统假设
列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。当康托尔的
朴素集合论
出现一系列悖论时，克罗内克的后继者
布劳威尔
（1881.2.27－1966.12.2）等人借此大做文章，
希尔伯特
用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。
