柯西施瓦茨不等式

柯西和施瓦茨告诉我们：

任意两个向量 |v⟩ 和 |w⟩ 都满足以下关系： |⟨v|w⟩|^2 ≤ ⟨v|v⟩⟨w|w⟩

我从路边捡到两个向量，供各位代入不等式检验，看看不等式是否成立。请看下面的例子。

例子

已知向量 |v⟩=(1,2) ， |v⟩=(3,4) 。问：

问题(1)：求 ⟨v|v⟩ ， ⟨w|w⟩ , ⟨v|w⟩ ？

问题(2)：求 |⟨v|w⟩|^2 ？

问题(3)：求 ⟨v|v⟩⟨w|w⟩ ？

问题(4)：比较：第(2)问得到的 |⟨v|w⟩|^2 和第(3)问得到的 ⟨v|v⟩⟨w|w⟩ ，哪个值大？

解：

答案(1)：求得 ⟨v|v⟩=1^2+2^2=5 ， ⟨w|w⟩=3^2+4^2=25 , ⟨v|w⟩=1*3+2*4=11

答案(2)：求得 |⟨v|w⟩|^2=11^2=121

答案(3)：求得 ⟨v|v⟩⟨w|w⟩=5*25=125

答案(4)：比较 |⟨v|w⟩|^2=121<125=⟨v|v⟩⟨w|w⟩ 。即 |⟨v|w⟩|^2<⟨v|v⟩⟨w|w⟩ ，满足柯西施瓦茨不等式。

你没有感到满足。上面的例子只能说明：“题给的两个向量满足这个不等式”。这并不能说服你相信柯西和施瓦茨。

证明

\begin{align} ⟨v|v⟩⟨w|w⟩ &=⟨v|I|v⟩⟨w|w⟩ \\ &=\Sigma_i^n ⟨v|i⟩⟨i|v⟩⟨w|w⟩\\ &= \left[⟨v|i_1⟩⟨i_1|v⟩+⟨v|i_2⟩⟨i_2|v⟩+...+⟨v|i_n⟩⟨i_n|v⟩\right]⟨w|w⟩\\ &≥ ⟨v|i_1⟩⟨i_1|v⟩⟨w|w⟩ \\ &= ⟨v|\frac{|w⟩}{\sqrt{⟨w|w⟩}}\frac{⟨w|}{\sqrt{⟨w|w⟩}}|v⟩⟨w|w⟩ \\ &=\frac{⟨v|w⟩⟨w|v⟩}{⟨w|w⟩}⟨w|w⟩\\ &=⟨v|w⟩⟨w|v⟩\\ &= |⟨v|w⟩|^2 \end{align}

其中，向量 |i⟩ 是施密特正交基，满足 |v⟩=c_1|i_1⟩+c_2|i_2⟩+...+c_n|i_n⟩ ，且 |i_1⟩=|w⟩/\sqrt{⟨w|w⟩} 。

QED

现在，你可以相信柯西和施瓦茨了。他们的结论是：任意两个向量的内积（点乘）的模平方，必定小于或等于这两个向量各自的模的乘积。

关键词：Cauchy–Schwarz inequality

参考文献

Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. (2004). Quantum Computation and Quantum Information 10th Anniversary Edition (Cambridge Series on Information and the Natural Sciences). pp68.