【群论入门】(1)：起源与应用
解方程给数学和科学带来深远影响远超其自身，但直到19世纪，代数基本等同于解方程，以至于今天， 代数基本定理 (下面将提及)竟然“荒唐”地认为不属于代数，基本定理竟然被开除，简直骇人听闻！那是由于它是关于方程的定理，诞生于代数与方程是同义词的时代。
解方程的里程碑：
- 公元前2000年，古巴比伦人在一元一次方程时产生了分数，即有理数；
- 数百年后，他们已了解了二次方程的根式解，产生了无理数；
- 16世纪，意大利数学家Cardano和Bombelli在求解一元三次方程时发明了 虚数 。著名数学家Sir Michael Atiyah(1929-2019)爵士说， \sqrt{-1}=i 是数学史最伟大的单个发明；
- 探索高于4次的多项式方程是否存在求根公式，催生了 群论 。
- 求解线性方程组孕育了 线性代数 ；
也因此，复数和线代都与群论内部结构相同，联系紧密。
群论的诞生是代数、几何和数论三个领域的发展共同推动的。
1800年左右， 人们已经会解1至4次方程 ，但对于求解更高的次的方程还没有头。为了回答这个问题，挪威数学家阿贝尔(Niels Henrik Abel，1802-1829)的贡献良多，其中最著名的是首先证明了5次方程没有求根公式。另外， 拉格朗日 做了非常重要的总结性工作和提出了新的思想，可以说是万事俱备只欠东风。
法国数学家伽罗瓦(Évariste Galois，1811-1832）进行群论的开创性工作。 代数基本定理 告诉我们：方程是几次方就对应几个根，群论提供一种证明代数基本定理的方法。
差不多同时(1798)，高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)在其经典的 数论 著作中提出了 模算术 (Modular Arithmetic)，其逻辑也与 群 一致。下图中，时钟的模数为12， 9+4=13\equiv1 。
1800年代，已统治了两千年的欧几里得几何面临革命， 双曲几何 和 球面几何 等非欧几何呼之欲出。人们很快发现 群 是研究这些几何的重要工具，1827年，莫比乌斯(August Ferdinand Möbius, 1790-1868)在完全不了解群的概念的情况下，使用特定群的几何不变性这一事实对几何图形进行分类。
环 的概念是在证明 费马大定理 过程中产生的，数论中的整数集合是一个环，与几何、高次方程求解一样， 数论 为抽象代数的发展提供了实例和源泉。
于是，“ 群 ”的概念被从不同领域中被抽象出来，并演化出 环 、 场 、 Modules 和 向量空间 等概念。这些概念，今天统称为 抽象代数 ，也称 近世代数 (Morden Algebra)。你要是和一群搞数学的人在一起，他们就称之为“代数”，但你可能发现他们聊的内容的与你印象中的代数完全不同！
群不仅已经深入到几乎所有的数学分支，也被广泛应用于物理、化学和计算机等领域。上图中的 CCl_4 分子具有四面体形状，其对称组有24个元素，化学家使用对称基团对分子进行分类，并预测其化学性质。李群是量子力学的重要工具，在机器人领域，李群被应用于刚体位移群的矩阵表示。也有人尝试用群论来解释深度学习是如何工作的。 [1]
除了基础的 集合 概念，说起来学习 群论好像 不需要什么数学基础，为了能轻松而牢固地理解 群 的概念，下一篇文章将通过具体的例子来解释群的特点，请戳➡️ 这里 ！
本系列旨在提供一个人人都能理解的群论入门，但又不失数学的严谨性，仅要求初中以上数学，和具有数学思维(证明、集合、抽象等)。
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